Номер 10, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Докажите, что угол между двумя касательными к окружности, проведенными из одной точки, измеряется полуразностью дуг, заключенных между этим углом (рис. 18.8).

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Из точки $C$, лежащей вне окружности, проведены две касательные $CA$ и $CB$, где $A$ и $B$ — точки касания. Требуется доказать, что угол между этими касательными, $\angle{ACB}$, измеряется полуразностью дуг, заключенных между точками касания. Обозначим градусную меру большей дуги, заключенной между точками $A$ и $B$, как $\alpha$, а меньшей дуги — как $\beta$. Таким образом, необходимо доказать, что $\angle{ACB} = \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Для доказательства соединим центр окружности $O$ с точками касания $A$ и $B$ отрезками $OA$ и $OB$, которые являются радиусами окружности. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $\angle{OAC} = 90^\circ$ и $\angle{OBC} = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Сумма его внутренних углов составляет $360^\circ$. Запишем это в виде уравнения:

$\angle{AOB} + \angle{OBC} + \angle{BCA} + \angle{CAO} = 360^\circ$

Подставим известные значения прямых углов:

$\angle{AOB} + 90^\circ + \angle{ACB} + 90^\circ = 360^\circ$

Упростив, получаем соотношение между центральным углом $\angle{AOB}$ и углом между касательными $\angle{ACB}$:

$\angle{AOB} + \angle{ACB} = 180^\circ$

Центральный угол $\angle{AOB}$ по определению равен градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть меньшей дуги $AB$. Таким образом, $\angle{AOB} = \beta$.

Подставим это значение в полученное ранее соотношение:

$\beta + \angle{ACB} = 180^\circ$

Отсюда можно выразить искомую величину угла $\angle{ACB}$:

$\angle{ACB} = 180^\circ - \beta$

Теперь рассмотрим полуразность дуг. Полная окружность составляет $360^\circ$, поэтому сумма градусных мер большей и меньшей дуг равна $360^\circ$: $\alpha + \beta = 360^\circ$. Выразим отсюда $\alpha = 360^\circ - \beta$.

Вычислим значение полуразности дуг, подставив выражение для $\alpha$:

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{(360^\circ - \beta) - \beta}{2} = \frac{360^\circ - 2\beta}{2} = \frac{2(180^\circ - \beta)}{2} = 180^\circ - \beta$

Мы получили два выражения: $\angle{ACB} = 180^\circ - \beta$ и $\frac{\alpha - \beta}{2} = 180^\circ - \beta$. Поскольку правые части этих равенств совпадают, то должны совпадать и левые:

$\angle{ACB} = \frac{\alpha - \beta}{2}$

Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что угол между двумя касательными, проведенными к окружности из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между точками касания.