Номер 13, страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Для данных точек A и B найдите геометрическое место точек C, для которых угол $ACB$:

а) острый;

б) тупой.

Для решения этой задачи воспользуемся известным свойством: геометрическое место точек C, из которых данный отрезок AB виден под прямым углом ($\angle ACB = 90^\circ$), есть окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре (за исключением самих точек A и B). Обозначим эту окружность как $\Omega$. Центром этой окружности будет середина отрезка AB, а ее радиус будет равен половине длины AB. Положение точки C относительно этой окружности определяет тип угла $\angle ACB$.

а) острый

Угол $\angle ACB$ является острым, когда его мера меньше $90^\circ$. В треугольнике ABC, по обобщенной теореме Пифагора (следствие из теоремы косинусов), угол $\angle C$ острый тогда и только тогда, когда $|AB|^2 < |AC|^2 + |BC|^2$. Это неравенство выполняется для всех точек C, которые лежат вне круга с диаметром AB.

Таким образом, чтобы угол $\angle ACB$ был острым, точка C должна находиться вне окружности $\Omega$. Кроме того, точка C не может лежать на прямой, проходящей через точки A и B, поскольку в этом случае точки A, B и C были бы коллинеарны, и угол $\angle ACB$ был бы равен $0^\circ$ или $180^\circ$, что не является острым углом в треугольнике. Следовательно, из множества точек, лежащих вне окружности $\Omega$, необходимо исключить точки, принадлежащие прямой AB.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это множество всех точек плоскости, лежащих вне окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре, за исключением точек, принадлежащих прямой AB.

б) тупой

Угол $\angle ACB$ является тупым, когда его мера больше $90^\circ$. В треугольнике ABC, по тому же следствию из теоремы косинусов, угол $\angle C$ тупой тогда и только тогда, когда $|AB|^2 > |AC|^2 + |BC|^2$. Это неравенство выполняется для всех точек C, которые лежат внутри круга с диаметром AB.

Таким образом, чтобы угол $\angle ACB$ был тупым, точка C должна находиться внутри окружности $\Omega$. Однако, если точка C лежит на самом отрезке AB, то она не образует с точками A и B треугольник (угол $\angle ACB$ был бы развернутым, $180^\circ$). Поэтому точки отрезка AB необходимо исключить из искомого множества.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это множество всех точек, лежащих внутри окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре, за исключением точек самого отрезка AB.