Номер 11, страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В угол $ACB$ вписана окружность. Точки касания делят окружность на дуги, градусные величины которых относятся как 2 : 1. Найдите величину угла $ACB$ (рис. 18.8).

O

Рис. 18.8

Пусть окружность с центром в точке $O$ вписана в угол $ACB$ и касается его сторон в точках $A$ и $B$. Точки касания $A$ и $B$ делят окружность на две дуги.

Согласно условию, градусные величины этих дуг относятся как $2:1$. Обозначим градусную меру меньшей дуги $AB$ как $x$. Тогда градусная мера большей дуги $AB$ будет равна $2x$.

Сумма градусных мер двух дуг, которые вместе составляют полную окружность, равна $360°$. Мы можем составить и решить уравнение:
$x + 2x = 360°$
$3x = 360°$
$x = \frac{360°}{3}$
$x = 120°$

Таким образом, градусная мера меньшей дуги $AB$ равна $120°$.

Для нахождения угла $ACB$ можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1. Через свойства четырехугольника
Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным: $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$. Следовательно, $∠OAC = 90°$ и $∠OBC = 90°$.
Центральный угол $AOB$ опирается на меньшую дугу $AB$, и его величина равна градусной мере этой дуги: $∠AOB = 120°$.
Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360°$. Для четырехугольника $OACB$ имеем:
$∠ACB + ∠OAC + ∠AOB + ∠OBC = 360°$
$∠ACB + 90° + 120° + 90° = 360°$
$∠ACB + 300° = 360°$
$∠ACB = 360° - 300° = 60°$

Способ 2. Через теорему об угле между касательными
Градусная мера большей дуги равна $2x = 2 \cdot 120° = 240°$.
Угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине разности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
$∠ACB = \frac{1}{2} (\text{большая дуга } AB - \text{меньшая дуга } AB)$
$∠ACB = \frac{1}{2} (240° - 120°) = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°$

Оба способа приводят к одинаковому результату.
Ответ: $60°$.