Номер 6, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Найдите угол $ACB$, если его сторона $CA$ касается окружности, сторона $CB$ проходит через центр окружности, а дуга $AB$ окружности, заключенная внутри этого угла, равна $125^\circ$ (рис. 18.5).

Рис. 18.5

Обозначим центр окружности как O. Соединим центр O с точкой касания A, получив радиус OA.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, радиус OA перпендикулярен прямой CA, из чего следует, что $\angle OAC = 90°$. Треугольник OAC является прямоугольным.

По условию задачи, сторона CB проходит через центр окружности O. Точки B и D лежат на окружности, а прямая, на которой лежит сторона CB, проходит через эти точки и центр O. Следовательно, отрезок BD является диаметром окружности.

Диаметр делит окружность на две полуокружности, градусная мера каждой из которых равна 180°. Дуга BAD является одной из таких полуокружностей. Эта дуга состоит из дуг AB и AD. Следовательно, сумма их градусных мер равна 180°:
$m(\cup AB) + m(\cup AD) = 180°$.

Из условия известно, что градусная мера дуги AB равна 125°. Найдем градусную меру дуги AD:
$m(\cup AD) = 180° - m(\cup AB) = 180° - 125° = 55°$.

Рассмотрим угол AOC. Этот угол является центральным, так как его вершина находится в центре окружности O, а стороны OA и OC (часть прямой CB) пересекают окружность в точках A и D. Центральный угол AOC опирается на дугу AD. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Таким образом:
$\angle AOC = m(\cup AD) = 55°$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику OAC. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Для треугольника OAC это записывается как:
$\angle OAC + \angle AOC + \angle ACO = 180°$.

Угол ACO — это и есть искомый угол ACB. Подставим известные нам значения в уравнение:
$90° + 55° + \angle ACB = 180°$
$145° + \angle ACB = 180°$
$\angle ACB = 180° - 145° = 35°$.

Ответ: 35°.