Страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Угол $ \angle ACB $ равен $ 42^\circ $. Градусная величина $ \text{дуги } AB $ окружности равна $ 124^\circ $. Найдите угол $ \angle DBE $ (рис. 18.2).

Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися вне окружности (в точке C), равен половине разности градусных мер большей (AB) и меньшей (DE) дуг, высекаемых секущими на окружности.

Запишем это в виде формулы:$∠ACB = \frac{1}{2} (\text{◡}AB - \text{◡}DE)$

Подставим известные из условия значения: $∠ACB = 42°$ и градусная мера дуги $AB$ равна $124°$.$42° = \frac{1}{2} (124° - \text{◡}DE)$

Теперь найдем градусную меру дуги DE из этого уравнения. Сначала умножим обе части на 2:$2 \cdot 42° = 124° - \text{◡}DE$$84° = 124° - \text{◡}DE$

Выразим величину дуги DE:$\text{◡}DE = 124° - 84°$$\text{◡}DE = 40°$

Угол DBE, который нам нужно найти, является вписанным углом. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. В данном случае угол DBE опирается на дугу DE.

Формула для вписанного угла:$∠DBE = \frac{1}{2} \text{◡}DE$

Подставим найденное значение дуги DE:$∠DBE = \frac{1}{2} \cdot 40° = 20°$

Ответ: 20°.

5. Найдите угол $ACB$, если его сторона $CA$ касается окружности, сторона $CB$ проходит через центр окружности, а дуга $AD$ окружности, заключенная внутри этого угла, равна $50^\circ$ (рис. 18.5).

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных и центральных углов окружности.

1. Проведем радиус $OA$ в точку касания $A$. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, треугольник $OAC$ является прямоугольным, а угол $OAC$ равен $90^\circ$.

2. Угол $AOD$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AD$. По определению, градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. По условию задачи, дуга $AD$ равна $50^\circ$, значит, $\angle AOD = 50^\circ$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $OAC$ нам известны два угла: $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle AOC$.

Поскольку сторона $CB$ угла $ACB$ проходит через центр окружности $O$, точки $C$, $D$, $O$ лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle AOC$ совпадает с углом $\angle AOD$. Таким образом, $\angle AOC = 50^\circ$.

Теперь мы можем найти третий угол треугольника $OAC$, который и является искомым углом $ACB$ (или $ACO$):

$\angle ACB = \angle ACO = 180^\circ - \angle OAC - \angle AOC$

Подставим известные значения:

$\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.

6. Найдите угол $ACB$, если его сторона $CA$ касается окружности, сторона $CB$ проходит через центр окружности, а дуга $AB$ окружности, заключенная внутри этого угла, равна $125^\circ$ (рис. 18.5).

Рис. 18.5

Обозначим центр окружности как O. Соединим центр O с точкой касания A, получив радиус OA.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, радиус OA перпендикулярен прямой CA, из чего следует, что $\angle OAC = 90°$. Треугольник OAC является прямоугольным.

По условию задачи, сторона CB проходит через центр окружности O. Точки B и D лежат на окружности, а прямая, на которой лежит сторона CB, проходит через эти точки и центр O. Следовательно, отрезок BD является диаметром окружности.

Диаметр делит окружность на две полуокружности, градусная мера каждой из которых равна 180°. Дуга BAD является одной из таких полуокружностей. Эта дуга состоит из дуг AB и AD. Следовательно, сумма их градусных мер равна 180°:
$m(\cup AB) + m(\cup AD) = 180°$.

Из условия известно, что градусная мера дуги AB равна 125°. Найдем градусную меру дуги AD:
$m(\cup AD) = 180° - m(\cup AB) = 180° - 125° = 55°$.

Рассмотрим угол AOC. Этот угол является центральным, так как его вершина находится в центре окружности O, а стороны OA и OC (часть прямой CB) пересекают окружность в точках A и D. Центральный угол AOC опирается на дугу AD. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Таким образом:
$\angle AOC = m(\cup AD) = 55°$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику OAC. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Для треугольника OAC это записывается как:
$\angle OAC + \angle AOC + \angle ACO = 180°$.

Угол ACO — это и есть искомый угол ACB. Подставим известные нам значения в уравнение:
$90° + 55° + \angle ACB = 180°$
$145° + \angle ACB = 180°$
$\angle ACB = 180° - 145° = 35°$.

Ответ: 35°.

7. Угол $ACB$ равен $38^\circ$. Его сторона $CA$ касается окружности, сторона $CB$ проходит через центр окружности. Найдите градусную величину дуги $AB$ окружности, заключенной внутри этого угла (рис. 18.5).

Рис. 18.5

Соединим центр окружности $O$ с точкой касания $A$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, $OA \perp CA$, и треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OAC = 90^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$ известны два угла: $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OCA = \angle ACB = 38^\circ$ (согласно условию). Найдем третий угол, $\angle AOC$:
$\angle AOC = 180^\circ - \angle OAC - \angle OCA = 180^\circ - 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ$.

Угол $\angle AOC$ является центральным и опирается на дугу $AD$. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Таким образом, градусная мера дуги $AD$ равна $52^\circ$.

По условию, прямая $CB$ проходит через центр окружности $O$. Это означает, что хорда $DB$ является диаметром окружности. Диаметр делит окружность на две полуокружности, градусная мера каждой из которых равна $180^\circ$. Дуга $DAB$, на которую опирается диаметр $DB$, является одной из таких полуокружностей.

Дуга $DAB$ состоит из дуг $AD$ и $AB$. Следовательно, ее градусная мера равна сумме градусных мер этих дуг:
$\text{дуга } DAB = \text{дуга } AD + \text{дуга } AB$
$180^\circ = 52^\circ + \text{дуга } AB$

Из этого уравнения находим искомую градусную величину дуги $AB$:
$\text{дуга } AB = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$.

Ответ: $128^\circ$.

8. Найдите величину угла $ \angle ACB $ (рис. 18.6).

Рис. 18.6

Для решения задачи введем систему координат, приняв сторону одной клетки за единицу длины. Удобно разместить центр окружности O в начале координат (0, 0).
Из рисунка видно, что радиус окружности равен одной клетке, следовательно, $r=1$.
Точка C находится на 3 клетки правее центра O на той же горизонтальной линии. Таким образом, координаты точки C: $(3, 0)$.
Точка A находится на окружности, на 1 клетку выше центра O. Координаты точки A: $(0, 1)$.
Точка B находится на окружности, на 1 клетку ниже центра O. Координаты точки B: $(0, -1)$.
Теперь найдем длины сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Длина стороны AC: $AC = \sqrt{(3-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.
Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(3-0)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.
Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(0-0)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
Зная длины всех трех сторон треугольника ABC, мы можем найти искомый угол ACB с помощью теоремы косинусов:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$
Подставим найденные значения длин сторон в формулу:
$2^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos(\angle ACB)$
$4 = 10 + 10 - 2 \cdot 10 \cdot \cos(\angle ACB)$
$4 = 20 - 20 \cdot \cos(\angle ACB)$
Перенесем слагаемые, чтобы выразить косинус угла:
$20 \cdot \cos(\angle ACB) = 20 - 4$
$20 \cdot \cos(\angle ACB) = 16$
$\cos(\angle ACB) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.
Следовательно, величина угла ACB - это угол, косинус которого равен 4/5.
Ответ: Величина угла ACB равна $\arccos(\frac{4}{5})$.

9. Найдите величину угла $ACB$ (рис. $18.7$).

Рис. $18.7$

Для решения задачи введем систему координат. Пусть одна клетка сетки соответствует единице длины. Разместим начало координат в левом нижнем углу видимой части сетки.

Из рисунка видно, что центр окружности, точка $O$, имеет координаты $(2, 2)$. Радиус окружности $r$ равен одной клетке, то есть $r = 1$.

Вершина угла, точка $C$, находится в узле сетки с координатами $(5, 4)$.

Отрезки $CA$ и $CB$ являются касательными к окружности, проведенными из одной точки $C$. По свойству касательных, радиусы, проведенные в точки касания $A$ и $B$, перпендикулярны касательным. Таким образом, углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAC$.

Длина катета $OA$ равна радиусу окружности: $OA = r = 1$.

Длина гипотенузы $OC$ — это расстояние между точками $O(2, 2)$ и $C(5, 4)$. Вычислим его по формуле расстояния между двумя точками:$OC = \sqrt{(5-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.

Длину второго катета $AC$ найдем по теореме Пифагора: $OC^2 = OA^2 + AC^2$.$AC^2 = OC^2 - OA^2 = (\sqrt{13})^2 - 1^2 = 13 - 1 = 12$.$AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ равны по катету и гипотенузе ($OA = OB = r$, гипотенуза $OC$ — общая). Следовательно, углы $\angle OCA$ и $\angle OCB$ равны, а искомый угол $\angle ACB$ равен удвоенному углу $\angle OCA$.$\angle ACB = 2 \cdot \angle OCA$.

Найдем косинус угла $\angle OCA$ из прямоугольного треугольника $\triangle OAC$:$\cos(\angle OCA) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{OC} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{13}}$.

Теперь найдем косинус угла $\angle ACB$, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$.$\cos(\angle ACB) = \cos(2 \cdot \angle OCA) = 2\cos^2(\angle OCA) - 1$.$\cos(\angle ACB) = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{13}}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{12}{13} - 1 = \frac{24}{13} - \frac{13}{13} = \frac{11}{13}$.

Таким образом, величина угла $\angle ACB$ равна арккосинусу от $\frac{11}{13}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{11}{13}\right)$.

10. Докажите, что угол между двумя касательными к окружности, проведенными из одной точки, измеряется полуразностью дуг, заключенных между этим углом (рис. 18.8).

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Из точки $C$, лежащей вне окружности, проведены две касательные $CA$ и $CB$, где $A$ и $B$ — точки касания. Требуется доказать, что угол между этими касательными, $\angle{ACB}$, измеряется полуразностью дуг, заключенных между точками касания. Обозначим градусную меру большей дуги, заключенной между точками $A$ и $B$, как $\alpha$, а меньшей дуги — как $\beta$. Таким образом, необходимо доказать, что $\angle{ACB} = \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Для доказательства соединим центр окружности $O$ с точками касания $A$ и $B$ отрезками $OA$ и $OB$, которые являются радиусами окружности. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $\angle{OAC} = 90^\circ$ и $\angle{OBC} = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Сумма его внутренних углов составляет $360^\circ$. Запишем это в виде уравнения:

$\angle{AOB} + \angle{OBC} + \angle{BCA} + \angle{CAO} = 360^\circ$

Подставим известные значения прямых углов:

$\angle{AOB} + 90^\circ + \angle{ACB} + 90^\circ = 360^\circ$

Упростив, получаем соотношение между центральным углом $\angle{AOB}$ и углом между касательными $\angle{ACB}$:

$\angle{AOB} + \angle{ACB} = 180^\circ$

Центральный угол $\angle{AOB}$ по определению равен градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть меньшей дуги $AB$. Таким образом, $\angle{AOB} = \beta$.

Подставим это значение в полученное ранее соотношение:

$\beta + \angle{ACB} = 180^\circ$

Отсюда можно выразить искомую величину угла $\angle{ACB}$:

$\angle{ACB} = 180^\circ - \beta$

Теперь рассмотрим полуразность дуг. Полная окружность составляет $360^\circ$, поэтому сумма градусных мер большей и меньшей дуг равна $360^\circ$: $\alpha + \beta = 360^\circ$. Выразим отсюда $\alpha = 360^\circ - \beta$.

Вычислим значение полуразности дуг, подставив выражение для $\alpha$:

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{(360^\circ - \beta) - \beta}{2} = \frac{360^\circ - 2\beta}{2} = \frac{2(180^\circ - \beta)}{2} = 180^\circ - \beta$

Мы получили два выражения: $\angle{ACB} = 180^\circ - \beta$ и $\frac{\alpha - \beta}{2} = 180^\circ - \beta$. Поскольку правые части этих равенств совпадают, то должны совпадать и левые:

$\angle{ACB} = \frac{\alpha - \beta}{2}$

Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что угол между двумя касательными, проведенными к окружности из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между точками касания.