Страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Чем измеряется угол, вершина которого лежит внутри окружности?

2. Чем измеряется угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность?

3. Чем измеряется угол с вершиной вне окружности, одна сторона которого пересекает окружность, а другая касается окружности?

1. Чем измеряется угол, вершина которого лежит внутри окружности?

Угол, вершина которого находится внутри окружности, образован двумя пересекающимися хордами. Согласно теореме, такой угол измеряется половиной суммы градусных мер дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между сторонами вертикального ему угла. Пусть хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Тогда величина угла $\angle APB$ вычисляется по формуле:

$\angle APB = \frac{1}{2}(\text{дуга }AB + \text{дуга }CD)$

Ответ: Угол, вершина которого лежит внутри окружности, измеряется полусуммой градусных мер дуг, на которые опираются данный угол и вертикальный ему угол.

2. Чем измеряется угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность?

Такой угол образован двумя секущими, проведенными из одной точки. Его величина равна половине разности градусных мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, высекаемых его сторонами на окружности. Пусть из точки $P$ вне окружности проведены две секущие, которые пересекают окружность в точках $A, B$ и $C, D$ (так, что точки расположены в порядке $P-A-B$ и $P-C-D$). Угол $\angle BPD$ высекает на окружности дальнюю дугу $BD$ и ближнюю дугу $AC$. Его величина вычисляется по формуле:

$\angle BPD = \frac{1}{2}(\text{дуга }BD - \text{дуга }AC)$

Ответ: Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность (угол между двумя секущими), измеряется полуразностью градусных мер большей и меньшей дуг, высекаемых его сторонами на окружности.

3. Чем измеряется угол с вершиной вне окружности, одна сторона которого пересекает окружность, а другая касается окружности?

Такой угол образован касательной и секущей, проведенными из одной точки. Его величина равна половине разности градусных мер дуг, заключенных между его сторонами. Пусть из точки $P$ вне окружности проведена касательная $PT$ (где $T$ – точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (так, что точки расположены в порядке $P-A-B$). Угол $\angle BPT$ высекает на окружности дальнюю дугу $BT$ и ближнюю дугу $AT$. Его величина вычисляется по формуле:

$\angle BPT = \frac{1}{2}(\text{дуга }BT - \text{дуга }AT)$

Ответ: Угол с вершиной вне окружности, образованный касательной и секущей, измеряется полуразностью градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

1. Вписанные углы $\angle ADB$ и $\angle DAE$ равны соответственно $50^\circ$ и $25^\circ$. Найдите угол $\angle ACB$, образованный пересекающимися хордами AD и BE (рис. 18.4).

Рис. 18.4

Для нахождения угла $\angle ACB$, образованного пересекающимися хордами $AD$ и $BE$, рассмотрим треугольник $\triangle ACE$. Угол $\angle ACB$ является внешним для этого треугольника при вершине $C$.

По свойству внешнего угла треугольника, его градусная мера равна сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. В данном случае это углы $\angle CAE$ и $\angle AEC$.

$\angle ACB = \angle CAE + \angle AEC$

1. Найдем величину угла $\angle CAE$.
Угол $\angle CAE$ — это тот же самый угол, что и данный в условии вписанный угол $\angle DAE$, поскольку точка $C$ лежит на хорде $AD$.
Следовательно, $\angle CAE = \angle DAE = 25^\circ$.

2. Найдем величину угла $\angle AEC$.
Угол $\angle AEC$ (который также является углом $\angle AEB$) — это вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$. В условии дан другой вписанный угол, $\angle ADB$, который также опирается на ту же самую дугу $AB$.

3. Используем свойство вписанных углов.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Следовательно, $\angle AEC = \angle ADB = 50^\circ$.

4. Вычислим искомый угол $\angle ACB$.
Теперь, зная величины двух углов, мы можем найти их сумму:
$\angle ACB = \angle CAE + \angle AEC = 25^\circ + 50^\circ = 75^\circ$.

Альтернативный способ:
Можно воспользоваться теоремой об угле между пересекающимися хордами. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.
$\angle ACB = \frac{1}{2}(\text{◡}AB + \text{◡}DE)$
Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается.- Дуга $AB$ соответствует вписанному углу $\angle ADB$, значит, ее мера равна $2 \cdot \angle ADB = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.- Дуга $DE$ соответствует вписанному углу $\angle DAE$, значит, ее мера равна $2 \cdot \angle DAE = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$.
Подставив значения, получаем:
$\angle ACB = \frac{1}{2}(100^\circ + 50^\circ) = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$

2. Дуги $AB$ и $DE$ окружности составляют соответственно $85^\circ$ и $45^\circ$. Найдите угол $ACB$, образованный хордами $AD$ и $BE$, пересекающимися в точке $C$ (рис. 18.4).

Рис. 18.4

Угол, образованный двумя пересекающимися хордами внутри окружности, равен полусумме градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. В данной задаче хорды AD и BE пересекаются в точке C.

Угол $∠ACB$ и вертикальный ему угол $∠DCE$ являются углами между пересекающимися хордами. Угол $∠ACB$ высекает на окружности дугу AB, а вертикальный ему угол $∠DCE$ высекает дугу DE.

Согласно теореме, величина угла $∠ACB$ вычисляется по следующей формуле:

$∠ACB = \frac{◡AB + ◡DE}{2}$

По условию задачи, градусная мера дуги AB равна 85°, а градусная мера дуги DE равна 45°.

Подставим эти значения в формулу:

$∠ACB = \frac{85° + 45°}{2}$

$∠ACB = \frac{130°}{2}$

$∠ACB = 65°$

Ответ: 65°.

3. Найдите угол $ACB$, если вписанные углы $ADB$ и $DBE$ опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно $118^\circ$ и $42^\circ$ (рис. 18.2).

Рис. 18.2

Согласно условию задачи, вписанный угол $ADB$ опирается на дугу окружности, градусная величина которой равна $118^\circ$. Эта дуга — $AB$. Таким образом, градусная мера дуги $AB$ составляет $118^\circ$.

Аналогично, вписанный угол $DBE$ опирается на дугу $DE$, градусная мера которой равна $42^\circ$. Следовательно, градусная мера дуги $DE$ составляет $42^\circ$.

Для нахождения искомого угла $ACB$ воспользуемся свойством вписанных углов и теоремой о внешнем угле треугольника.

Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Найдем величины вписанных углов $AEB$ и $DAE$.

Вписанный угол $AEB$ опирается на дугу $AB$, поэтому его величина равна: $\angle AEB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 118^\circ = 59^\circ$.

Вписанный угол $DAE$ опирается на дугу $DE$, поэтому его величина равна: $\angle DAE = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } DE = \frac{1}{2} \cdot 42^\circ = 21^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AEC$. Угол $AEB$ является для него внешним углом при вершине $E$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AEB = \angle EAC + \angle ACE$.

Так как точки $A, D, C$ лежат на одной прямой, то $\angle EAC$ — это тот же угол, что и $\angle DAE$. Угол $\angle ACE$ — это искомый угол $\angle ACB$. Подставим известные значения в равенство: $59^\circ = 21^\circ + \angle ACB$.

Выразим и вычислим $\angle ACB$: $\angle ACB = 59^\circ - 21^\circ = 38^\circ$.

Ответ: $38^\circ$.