Страница 114 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Радиус окружности равен 4 см. На продолжении радиуса взята точка $E$, отстоящая от центра $O$ окружности на расстояние 8 см. Через точку $E$ проведен луч, пересекающий окружность в точках $B$ и $C$ (рис. 19.6). $BE = 10$. Найдите $CE$.

Рис. 19.6

Для решения этой задачи воспользуемся свойством секущих, проведенных к окружности из одной точки. Теорема о секущих гласит, что если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение длины одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на ее внешнюю часть.

В нашем случае из точки E, расположенной вне окружности, проведены две секущие:

1. Секущая, пересекающая окружность в точках B и C.

2. Секущая, проходящая через центр окружности O. Обозначим точки ее пересечения с окружностью как A (ближайшая к E) и D (самая дальняя от E).

Согласно теореме о секущих, должно выполняться равенство: $CE \cdot BE = EA \cdot ED$.

По условию задачи нам известны следующие данные:

Радиус окружности $r = 4$ см. Отсюда $OA = OD = 4$ см.

Расстояние от центра O до точки E: $OE = 8$ см.

Длина отрезка $BE = 10$ см.

Теперь найдем длины отрезков $EA$ и $ED$ для секущей, проходящей через центр.

Длина внешней части этой секущей, отрезок $EA$, равна разности расстояния $OE$ и радиуса $OA$:

$EA = OE - OA = 8 - 4 = 4$ см.

Полная длина этой секущей, отрезок $ED$, равна сумме расстояния $OE$ и радиуса $OD$:

$ED = OE + OD = 8 + 4 = 12$ см.

Теперь подставим все известные значения в формулу теоремы о секущих:

$CE \cdot BE = EA \cdot ED$

$CE \cdot 10 = 4 \cdot 12$

Выполним вычисления:

$10 \cdot CE = 48$

Из этого уравнения находим искомую длину отрезка $CE$:

$CE = \frac{48}{10} = 4.8$ см.

Ответ: 4,8 см.

10. Радиус окружности равен 11 см. Точка E удалена от центра окружности на 7 см. Через точку E проведена хорда CD, равная 18 см. Найдите отрезки, на которые точка E делит хорду CD (рис. 19.7).

Рис. 19.7

Для решения задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности. Согласно этому свойству, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Проведем через точку E и центр окружности O диаметр, назовем его AB. Точка E лежит на этом диаметре. Длина диаметра равна двум радиусам: $AB = 2R = 2 \times 11 = 22$ см.

Точка E делит диаметр AB на два отрезка, AE и EB. Найдем их длины. Расстояние от центра O до точки E известно: $OE = 7$ см. Радиус окружности $OA = OB = R = 11$ см.

Длина одного отрезка диаметра будет равна разности радиуса и расстояния OE, а другого — их сумме:

$AE = R - OE = 11 - 7 = 4$ см.

$EB = R + OE = 11 + 7 = 18$ см.

Проверим: $AE + EB = 4 + 18 = 22$ см, что равно длине диаметра.

Теперь у нас есть две пересекающиеся в точке E хорды: CD и AB. По свойству пересекающихся хорд:

$CE \times ED = AE \times EB$

Подставим найденные значения длин отрезков AE и EB:

$CE \times ED = 4 \times 18 = 72$

Также из условия задачи мы знаем, что длина хорды CD равна 18 см, следовательно:

$CE + ED = 18$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} CE + ED = 18 \\ CE \times ED = 72 \end{cases}$

Эту систему можно решить, составив квадратное уравнение, где CE и ED будут его корнями (согласно теореме Виета). Пусть $x$ — длина одного из отрезков, тогда уравнение будет иметь вид:

$x^2 - 18x + 72 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \times 1 \times 72 = 324 - 288 = 36$

$\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - 6}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, длины отрезков, на которые точка E делит хорду CD, равны 6 см и 12 см.

Ответ: 6 см и 12 см.

11. На рисунке 19.8 две окружности с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами 10 и 4 касаются внутренним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружности в точках B и C, $AB = 6$. Найдите $AC$.

Рис. 19.8

Обозначим большую окружность как $ \omega_1 $ с центром $ O_1 $ и радиусом $ R=10 $, а меньшую окружность как $ \omega_2 $ с центром $ O_2 $ и радиусом $ r=4 $. Окружности касаются внутренним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружность $ \omega_2 $ в точке B, а окружность $ \omega_1 $ в точке C. По условию, длина отрезка $ AB = 6 $. Необходимо найти длину отрезка $ AC $.

Наиболее простым способом решения этой задачи является использование свойства гомотетии. Две окружности, касающиеся друг друга в точке A, являются гомотетичными с центром гомотетии в точке A. Это означает, что одна окружность может быть получена из другой путем преобразования подобия (растяжения или сжатия) с центром в точке A.

Рассмотрим гомотетию $ H $ с центром в точке A, которая переводит меньшую окружность $ \omega_2 $ в большую окружность $ \omega_1 $. Коэффициент этой гомотетии $ k $ равен отношению их радиусов:

$ k = \frac{R}{r} = \frac{10}{4} = 2.5 $

По определению гомотетии, любая точка на меньшей окружности переходит в точку на большей окружности, причем точка A (центр гомотетии), исходная точка и ее образ лежат на одной прямой.

В нашей задаче точка B лежит на меньшей окружности $ \omega_2 $. Ее образ при гомотетии $ H $ должен лежать на большей окружности $ \omega_1 $. При этом, по определению, точки A, B и образ точки B лежат на одной прямой. По условию задачи, прямая, проходящая через A и B, пересекает большую окружность в точке C. Следовательно, точка C и является образом точки B при данной гомотетии.

Из свойства гомотетии следует, что отношение расстояний от центра гомотетии A до образа (точки C) и прообраза (точки B) равно коэффициенту гомотетии $ k $:

$ \frac{AC}{AB} = k $

Подставим известные значения в данное соотношение:

$ \frac{AC}{6} = 2.5 $

Отсюда выразим и вычислим длину отрезка AC:

$ AC = 6 \cdot 2.5 = 15 $

Ответ: 15.

12. На рисунке 19.9 две окружности с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами 10 и 4 касаются внешним образом в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, пересекает окружности в точках $B$ и $C$, $AC = 15$. Найдите $AB$.

Рис. 19.9

Пусть окружность с центром $O_1$ имеет радиус $R_1 = 10$, а окружность с центром $O_2$ — радиус $R_2 = 4$. Прямая, проходящая через точку касания $A$ и пересекающая окружности в точках $B$ и $C$, является секущей для обеих окружностей.

Рассмотрим треугольники $\triangle AO_1C$ и $\triangle AO_2B$.

1. Точка касания $A$ лежит на линии, соединяющей центры окружностей $O_1$ и $O_2$. Следовательно, точки $O_1$, $A$ и $O_2$ лежат на одной прямой.

2. В треугольнике $\triangle AO_1C$ стороны $O_1A$ и $O_1C$ являются радиусами большей окружности, поэтому $O_1A = O_1C = R_1 = 10$. Это означает, что треугольник $\triangle AO_1C$ — равнобедренный, и его углы при основании равны: $\angle O_1AC = \angle O_1CA$.

3. Аналогично, в треугольнике $\triangle AO_2B$ стороны $O_2A$ и $O_2B$ являются радиусами меньшей окружности, поэтому $O_2A = O_2B = R_2 = 4$. Это означает, что треугольник $\triangle AO_2B$ — равнобедренный, и его углы при основании равны: $\angle O_2AB = \angle O_2BA$.

4. Углы $\angle O_1AC$ и $\angle O_2AB$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $BC$ и $O_1O_2$ в точке $A$. Следовательно, $\angle O_1AC = \angle O_2AB$.

5. Из пунктов 2, 3 и 4 следует, что $\angle O_1CA = \angle O_1AC = \angle O_2AB = \angle O_2BA$. Таким образом, у треугольников $\triangle AO_1C$ и $\triangle AO_2B$ есть две пары равных углов: $\angle O_1AC = \angle O_2AB$ и $\angle O_1CA = \angle O_2BA$.

6. По первому признаку подобия (по двум углам) треугольники $\triangle AO_1C$ и $\triangle AO_2B$ подобны.

7. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{AB}{AC} = \frac{O_2A}{O_1A} = \frac{R_2}{R_1} $

Подставим известные значения: $AC = 15$, $R_1 = 10$, $R_2 = 4$. $ \frac{AB}{15} = \frac{4}{10} $

Теперь найдем $AB$: $ AB = 15 \cdot \frac{4}{10} = 15 \cdot \frac{2}{5} = 3 \cdot 2 = 6 $

Ответ: 6.

13. На рисунке 19.10 прямая касается двух окружностей с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами 4 и 10 соответственно, $A_1$, $A_2$ — точки касания, $AA_1 = 12$. Найдите $AA_2$.

Рис. 19.10

По условию задачи, у нас есть две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $r_1 = 4$ и $r_2 = 10$ соответственно. Прямая $AA_2$ является общей внешней касательной к этим окружностям, где $A_1$ и $A_2$ — точки касания. Точка $A$ лежит на прямой, соединяющей центры окружностей $O_1$ и $O_2$. Длина отрезка касательной от точки $A$ до точки $A_1$ равна $AA_1 = 12$. Нам нужно найти длину отрезка $AA_2$.

Проведем радиусы $O_1A_1$ и $O_2A_2$ к точкам касания. Согласно свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $\angle O_1A_1A = 90^\circ$ и $\angle O_2A_2A = 90^\circ$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle AO_1A_1$ и $\triangle AO_2A_2$. Оба этих треугольника являются прямоугольными. У них есть общий острый угол $\angle A$. Следовательно, треугольники $\triangle AO_1A_1$ и $\triangle AO_2A_2$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Запишем отношение катетов: $$ \frac{AA_2}{AA_1} = \frac{O_2A_2}{O_1A_1} $$

Подставим в это соотношение известные значения:

$AA_1 = 12$

$O_1A_1 = r_1 = 4$

$O_2A_2 = r_2 = 10$

Получим уравнение: $$ \frac{AA_2}{12} = \frac{10}{4} $$

Теперь найдем $AA_2$: $$ AA_2 = 12 \cdot \frac{10}{4} = 3 \cdot 10 = 30 $$

Таким образом, длина отрезка $AA_2$ равна 30.

Ответ: 30.