Номер 11, страница 114 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. На рисунке 19.8 две окружности с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами 10 и 4 касаются внутренним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружности в точках B и C, $AB = 6$. Найдите $AC$.

Рис. 19.8

Обозначим большую окружность как $ \omega_1 $ с центром $ O_1 $ и радиусом $ R=10 $, а меньшую окружность как $ \omega_2 $ с центром $ O_2 $ и радиусом $ r=4 $. Окружности касаются внутренним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружность $ \omega_2 $ в точке B, а окружность $ \omega_1 $ в точке C. По условию, длина отрезка $ AB = 6 $. Необходимо найти длину отрезка $ AC $.

Наиболее простым способом решения этой задачи является использование свойства гомотетии. Две окружности, касающиеся друг друга в точке A, являются гомотетичными с центром гомотетии в точке A. Это означает, что одна окружность может быть получена из другой путем преобразования подобия (растяжения или сжатия) с центром в точке A.

Рассмотрим гомотетию $ H $ с центром в точке A, которая переводит меньшую окружность $ \omega_2 $ в большую окружность $ \omega_1 $. Коэффициент этой гомотетии $ k $ равен отношению их радиусов:

$ k = \frac{R}{r} = \frac{10}{4} = 2.5 $

По определению гомотетии, любая точка на меньшей окружности переходит в точку на большей окружности, причем точка A (центр гомотетии), исходная точка и ее образ лежат на одной прямой.

В нашей задаче точка B лежит на меньшей окружности $ \omega_2 $. Ее образ при гомотетии $ H $ должен лежать на большей окружности $ \omega_1 $. При этом, по определению, точки A, B и образ точки B лежат на одной прямой. По условию задачи, прямая, проходящая через A и B, пересекает большую окружность в точке C. Следовательно, точка C и является образом точки B при данной гомотетии.

Из свойства гомотетии следует, что отношение расстояний от центра гомотетии A до образа (точки C) и прообраза (точки B) равно коэффициенту гомотетии $ k $:

$ \frac{AC}{AB} = k $

Подставим известные значения в данное соотношение:

$ \frac{AC}{6} = 2.5 $

Отсюда выразим и вычислим длину отрезка AC:

$ AC = 6 \cdot 2.5 = 15 $

Ответ: 15.