Номер 16, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Повторите формулы площади треугольника.

Существует несколько основных формул для вычисления площади треугольника, выбор которых зависит от известных данных о треугольнике.

1. Через основание и высоту
Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания на длину высоты, проведенной к этому основанию. Пусть a — это сторона треугольника (основание), а h_a — высота, опущенная на эту сторону.
Ответ: $S = \frac{1}{2} a h_a$

2. Через две стороны и угол между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Пусть a и b — две стороны треугольника, а γ — угол, заключенный между этими сторонами.
Ответ: $S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$

3. Формула Герона (через три стороны)
Если известны длины всех трех сторон треугольника a, b, c, то его площадь можно найти с помощью формулы Герона. Сначала вычисляется полупериметр p.
Полупериметр: $p = \frac{a+b+c}{2}$
Ответ: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

4. Через радиус вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Пусть p — полупериметр, а r — радиус вписанной окружности.
Ответ: $S = p \cdot r$

5. Через радиус описанной окружности
Площадь треугольника можно вычислить через произведение длин всех его сторон, деленное на учетверенный радиус описанной окружности. Пусть a, b, c — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.
Ответ: $S = \frac{abc}{4R}$

6. Для прямоугольного треугольника
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Пусть a и b — катеты прямоугольного треугольника.
Ответ: $S = \frac{1}{2} ab$

7. Для равностороннего треугольника
Площадь равностороннего треугольника можно найти, зная только длину его стороны a.
Ответ: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$