Номер 2, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Может ли центр окружности, описанной около треугольника, находиться:

а) внутри треугольника;

б) на стороне треугольника;

в) вне этого треугольника?

Приведите примеры.

Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Положение этого центра зависит от вида треугольника.

а) внутри треугольника
Да, центр описанной окружности может находиться внутри треугольника. Это происходит тогда и только тогда, когда треугольник является остроугольным, то есть все его углы меньше $90^\circ$. У остроугольного треугольника все серединные перпендикуляры пересекаются внутри него.
Пример: Возьмем равносторонний треугольник. Все его углы равны $60^\circ$, поэтому он является остроугольным. Центр его описанной окружности находится внутри треугольника (он также является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот).
Ответ: да, может, если треугольник остроугольный.

б) на стороне треугольника
Да, центр описанной окружности может находиться на стороне треугольника. Это происходит тогда и только тогда, когда треугольник является прямоугольным. Угол, вписанный в окружность и равный $90^\circ$, опирается на её диаметр. Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности, а центр окружности находится на середине гипотенузы.
Пример: Любой прямоугольный треугольник. Например, египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5. Центр описанной окружности будет лежать на середине гипотенузы (стороны длиной 5).
Ответ: да, может, если треугольник прямоугольный, и центр находится на середине гипотенузы.

в) вне этого треугольника
Да, центр описанной окружности может находиться вне треугольника. Это происходит тогда и только тогда, когда треугольник является тупоугольным, то есть один из его углов больше $90^\circ$. В этом случае точка пересечения серединных перпендикуляров лежит вне треугольника, со стороны, противоположной вершине тупого угла относительно противолежащей стороны.
Пример: Возьмем треугольник с углами $120^\circ$, $30^\circ$ и $30^\circ$. Этот треугольник тупоугольный. Центр описанной около него окружности будет находиться за пределами треугольника.
Ответ: да, может, если треугольник тупоугольный.