Номер 9, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна 10. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если противолежащий этой стороне угол $C$ равен:

а) $30^\circ$;

б) $45^\circ$;

в) $60^\circ$;

г) $90^\circ$;

д) $150^\circ$.

Для решения данной задачи используется следствие из теоремы синусов, которое устанавливает связь между стороной треугольника, противолежащим ей углом и радиусом описанной около треугольника окружности. Формула выглядит следующим образом:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

где $a$ – сторона треугольника, $\alpha$ – угол, противолежащий этой стороне, а $R$ – радиус описанной окружности.

В нашем случае дана сторона $AB = 10$ и угол $C$, который ей противолежит. Подставив эти значения в формулу, получим:

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

Отсюда мы можем выразить радиус $R$:

$R = \frac{AB}{2 \sin C} = \frac{10}{2 \sin C} = \frac{5}{\sin C}$

Теперь рассчитаем радиус для каждого значения угла $C$.

а) Если угол $C = 30^{\circ}$, то $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

$R = \frac{5}{\sin 30^{\circ}} = \frac{5}{1/2} = 5 \cdot 2 = 10$.

Ответ: 10.

б) Если угол $C = 45^{\circ}$, то $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$R = \frac{5}{\sin 45^{\circ}} = \frac{5}{\sqrt{2}/2} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$.

Ответ: $5\sqrt{2}$.

в) Если угол $C = 60^{\circ}$, то $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$R = \frac{5}{\sin 60^{\circ}} = \frac{5}{\sqrt{3}/2} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{10\sqrt{3}}{3}$.

г) Если угол $C = 90^{\circ}$, то $\sin 90^{\circ} = 1$.

$R = \frac{5}{\sin 90^{\circ}} = \frac{5}{1} = 5$.

В этом случае треугольник является прямоугольным, а его гипотенуза $AB$ является диаметром описанной окружности. Следовательно, $2R = AB = 10$, откуда $R=5$.

Ответ: 5.

д) Если угол $C = 150^{\circ}$, то $\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

$R = \frac{5}{\sin 150^{\circ}} = \frac{5}{1/2} = 5 \cdot 2 = 10$.

Ответ: 10.