Номер 10, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 3 см. Найдите сторону AB этого треугольника, если противолежащий ей угол C равен: а) $30^\circ$; б) $45^\circ$; в) $60^\circ$; г) $90^\circ$; д) $150^\circ$.

Для решения этой задачи воспользуемся следствием из теоремы синусов (расширенной теоремой синусов), которое связывает сторону треугольника, противолежащий ей угол и радиус описанной окружности. Формула имеет вид:

$ \frac{c}{\sin C} = 2R $

где $c$ — сторона треугольника (в нашем случае это сторона $AB$), $C$ — противолежащий ей угол, а $R$ — радиус описанной окружности.

Из этой формулы мы можем выразить сторону $AB$:

$ AB = 2R \sin C $

По условию задачи радиус описанной окружности $R = 3$ см. Подставим это значение в формулу и решим задачу для каждого из предложенных углов.

а) Если угол $C = 30^\circ$, то сторону $AB$ находим следующим образом:

$ AB = 2 \cdot 3 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 $ см.

Ответ: 3 см.

б) Если угол $C = 45^\circ$, то сторона $AB$ равна:

$ AB = 2 \cdot 3 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} $ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

в) Если угол $C = 60^\circ$, то сторона $AB$ равна:

$ AB = 2 \cdot 3 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} $ см.

Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

г) Если угол $C = 90^\circ$, то сторона $AB$ равна:

$ AB = 2 \cdot 3 \cdot \sin(90^\circ) = 6 \cdot 1 = 6 $ см. (В этом случае треугольник прямоугольный, а сторона $AB$ является его гипотенузой и одновременно диаметром описанной окружности).

Ответ: 6 см.

д) Если угол $C = 150^\circ$, то сторона $AB$ равна:

Используя формулу приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha) $, находим $ \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $.

$ AB = 2 \cdot 3 \cdot \sin(150^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 $ см.

Ответ: 3 см.