Номер 15, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Докажите, что центр вписанной окружности расположен ближе к вершине большего угла треугольника.

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$ с углами $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ при вершинах $A$, $B$ и $C$ соответственно. Центр вписанной окружности, обозначим его $I$, является точкой пересечения биссектрис углов этого треугольника. Нам нужно доказать, что если один из углов, например $\alpha$, является наибольшим, то расстояние от центра $I$ до вершины $A$ будет наименьшим по сравнению с расстояниями до других вершин ($IA < IB$ и $IA < IC$).

Пусть, без ограничения общности, угол $\alpha$ является наибольшим в треугольнике, то есть $\alpha > \beta$ и $\alpha > \gamma$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AIB$. Его стороны — это отрезки $IA$, $IB$ и сторона $AB$ исходного треугольника. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны:$\angle IAB = \frac{\alpha}{2}$ (так как $AI$ — биссектриса угла $A$).$\angle IBA = \frac{\beta}{2}$ (так как $BI$ — биссектриса угла $B$).

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Сравним углы $\angle IAB$ и $\angle IBA$ в треугольнике $\triangle AIB$.По нашему предположению, $\alpha > \beta$. Разделив обе части неравенства на 2, получаем $\frac{\alpha}{2} > \frac{\beta}{2}$.Следовательно, в треугольнике $\triangle AIB$ имеем $\angle IAB > \angle IBA$.

Сторона $IB$ лежит против угла $\angle IAB$, а сторона $IA$ лежит против угла $\angle IBA$. Поскольку $\angle IAB > \angle IBA$, то и соответствующая противолежащая сторона больше: $IB > IA$, или $IA < IB$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle AIC$. Его углы при вершинах $A$ и $C$ равны $\angle IAC = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle ICA = \frac{\gamma}{2}$.Так как мы предположили, что $\alpha > \gamma$, то $\frac{\alpha}{2} > \frac{\gamma}{2}$, и, следовательно, $\angle IAC > \angle ICA$.В треугольнике $\triangle AIC$ сторона $IC$ лежит против угла $\angle IAC$, а сторона $IA$ — против угла $\angle ICA$. Из неравенства углов следует неравенство сторон: $IC > IA$, или $IA < IC$.

Таким образом, мы доказали, что если $\alpha$ — наибольший угол, то $IA < IB$ и $IA < IC$. Это означает, что центр вписанной окружности расположен ближе к вершине большего угла треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Расстояние от инцентра до вершины большего угла является наименьшим. Это следует из того, что при сравнении расстояний от инцентра до двух вершин (например, $IA$ и $IB$) в треугольнике $\triangle AIB$ они лежат против углов, равных половинам углов при других вершинах ($\beta/2$ и $\alpha/2$ соответственно). Если $\alpha > \beta$, то и $\alpha/2 > \beta/2$, а значит, по свойству треугольника, $IB > IA$.