Номер 17, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Стороны треугольника равны 5, 6, 7. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

Для решения задачи нам понадобится площадь треугольника. Поскольку известны все три стороны, для нахождения площади удобно использовать формулу Герона.

Даны стороны треугольника: $a = 5$, $b = 6$, $c = 7$.

Сначала вычислим полупериметр треугольника $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+7}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Теперь вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216}$

Упростим полученное значение площади: $S = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$.

Теперь, зная площадь, мы можем найти радиусы описанной и вписанной окружностей.

Радиус описанной окружности

Формула для радиуса описанной окружности ($R$) через стороны и площадь треугольника:

$R = \frac{abc}{4S}$

Подставляем наши значения:

$R = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}}$

Сокращаем дробь на 6:

$R = \frac{35}{4\sqrt{6}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$R = \frac{35 \cdot \sqrt{6}}{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{4 \cdot 6} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

Ответ: $R = \frac{35\sqrt{6}}{24}$.

Радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности ($r$) через площадь и полупериметр:

$r = \frac{S}{p}$

Подставляем наши значения:

$r = \frac{6\sqrt{6}}{9}$

Сокращаем дробь на 3:

$r = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $r = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.