Номер 13, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите, что центр описанной окружности расположен ближе к большей стороне треугольника.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $a$, $b$ и $c$, лежащими против вершин $A$, $B$ и $C$ соответственно. Пусть $O$ — центр описанной окружности этого треугольника, а $R$ — её радиус. По определению, центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника, то есть $OA = OB = OC = R$.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Найдем расстояние от центра $O$ до сторон треугольника.

Рассмотрим сторону $BC$ (длиной $a$). Пусть $M_a$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $BC$. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка $OM_a$.

Сторона $BC$ является хордой описанной окружности. Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит эту хорду пополам. Следовательно, $M_a$ является серединой стороны $BC$, и $BM_a = M_aC = a/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBM_a$ (с прямым углом при вершине $M_a$). Его катеты — это $OM_a$ и $BM_a$, а гипотенуза — $OB$. По теореме Пифагора:

$OB^2 = OM_a^2 + BM_a^2$

Подставим известные значения:

$R^2 = OM_a^2 + (a/2)^2$

Отсюда выразим квадрат расстояния от центра $O$ до стороны $BC$:

$OM_a^2 = R^2 - a^2/4$

Аналогично, для стороны $AC$ (длиной $b$) расстояние от центра $O$ до неё, которое мы обозначим $OM_b$, определяется формулой:

$OM_b^2 = R^2 - b^2/4$

Теперь сравним расстояния до двух сторон, например, до стороны $a$ и до стороны $b$. Пусть сторона $a$ больше стороны $b$, то есть $a > b$.

Так как $a > b$ и обе длины положительны, то $a^2 > b^2$.

Разделим обе части неравенства на 4:

$a^2/4 > b^2/4$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$-a^2/4 < -b^2/4$

Прибавим к обеим частям $R^2$ (значение радиуса описанной окружности для данного треугольника постоянно):

$R^2 - a^2/4 < R^2 - b^2/4$

Мы получили, что $OM_a^2 < OM_b^2$.

Так как расстояния $OM_a$ и $OM_b$ являются неотрицательными величинами, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак:

$OM_a < OM_b$

Таким образом, мы доказали, что расстояние от центра описанной окружности до большей стороны ($a$) меньше, чем расстояние до меньшей стороны ($b$). Этот вывод справедлив для любой пары сторон треугольника. Следовательно, центр описанной окружности расположен ближе всего к самой большой стороне треугольника.

Ответ:

Пусть $a$ и $b$ — длины двух произвольных сторон треугольника, а $d_a$ и $d_b$ — расстояния от центра описанной окружности до этих сторон соответственно. Расстояние $d_a$ можно выразить через радиус описанной окружности $R$ и длину стороны $a$ с помощью теоремы Пифагора: $d_a = \sqrt{R^2 - (a/2)^2}$. Аналогично, $d_b = \sqrt{R^2 - (b/2)^2}$. Если $a > b$, то $a^2 > b^2$, и $a^2/4 > b^2/4$. Тогда $R^2 - a^2/4 < R^2 - b^2/4$, что означает $d_a^2 < d_b^2$. Поскольку расстояния неотрицательны, $d_a < d_b$. Это доказывает, что чем больше сторона, тем меньше расстояние от центра описанной окружности до нее. Следовательно, центр описанной окружности расположен ближе к большей стороне треугольника, что и требовалось доказать.