Номер 12, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Окружность разделена точками $A$, $B$, $C$ на дуги, градусные величины которых относятся как $11 : 3 : 4$. Через точки $A$, $B$, $C$ проведены касательные до их взаимного пересечения. Найдите углы образовавшегося треугольника.

Пусть точки $A, B, C$ делят окружность на три дуги, градусные меры которых, согласно условию, относятся как $11 : 3 : 4$. Полная окружность составляет $360°$. Найдем градусные меры каждой дуги.
Сумма частей отношения: $11 + 3 + 4 = 18$.
Градусная мера одной части: $360° / 18 = 20°$.
Тогда градусные меры дуг равны:
Дуга 1: $11 \cdot 20° = 220°$
Дуга 2: $3 \cdot 20° = 60°$
Дуга 3: $4 \cdot 20° = 80°$
Проверка: $220° + 60° + 80° = 360°$.

Через точки $A, B, C$ проведены касательные к окружности, которые, пересекаясь, образуют треугольник. Найдем углы этого треугольника.Угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности, равен полуразности градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между точками касания.Пусть $\alpha$ — угол между касательными, а $m_{большая}$ и $m_{меньшая}$ — градусные меры дуг. Тогда формула для вычисления угла:$\alpha = \frac{1}{2} (m_{большая} - m_{меньшая})$

Вычислим углы, которые образуют пары касательных в точках их пересечения:
1. Для дуги в $220°$ (это большая дуга), соответствующая ей меньшая дуга равна $360° - 220° = 140°$. Угол, образованный касательными в точках, ограничивающих эти дуги, равен: $\alpha_1 = \frac{1}{2} (220° - 140°) = \frac{1}{2} (80°) = 40°$
2. Для дуги в $60°$ (это меньшая дуга), соответствующая ей большая дуга равна $360° - 60° = 300°$. Угол, образованный касательными, равен: $\alpha_2 = \frac{1}{2} (300° - 60°) = \frac{1}{2} (240°) = 120°$
3. Для дуги в $80°$ (это меньшая дуга), соответствующая ей большая дуга равна $360° - 80° = 280°$. Угол, образованный касательными, равен: $\alpha_3 = \frac{1}{2} (280° - 80°) = \frac{1}{2} (200°) = 100°$

Мы получили три угла: $40°, 120°, 100°$. Сумма этих углов равна $40° + 120° + 100° = 260°$, что не равно $180°$. Это означает, что не все эти углы являются внутренними углами образовавшегося треугольника.
Такая ситуация возникает, когда треугольник, вписанный в окружность (с вершинами в точках $A, B, C$), является тупоугольным. Углы вписанного треугольника равны половинам противолежащих дуг: $220°/2 = 110°$, $60°/2 = 30°$, $80°/2 = 40°$. Так как один из углов ($110°$) больше $90°$, треугольник тупоугольный. В этом случае исходная окружность является не вписанной, а вневписанной для треугольника, образованного касательными.
Внутренние углы треугольника, образованного тремя пересекающимися прямыми (касательными), должны в сумме давать $180°$. Углы при вершинах этого треугольника нужно выбрать из пар $(\alpha, 180° - \alpha)$.Найденные нами углы $40°, 120°, 100°$ — это углы между касательными. Чтобы получить внутренние углы треугольника, нужно выбрать по одному углу из каждой пары так, чтобы их сумма была $180°$.Пары углов: $(40°, 140°)$, $(120°, 60°)$, $(100°, 80°)$.Проверим комбинации. Единственная комбинация, дающая в сумме $180°$, это $40°, 60°, 80°$.$40° + 60° + 80° = 180°$.Следовательно, углы образовавшегося треугольника равны $40°, 60°$ и $80°$.

Ответ: $40°, 60°, 80°$.