Номер 16, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В треугольнике $ABC$ $AB = 3$, $AC = 4$, $BC = 5$. Какая из вершин треугольника расположена ближе к центру вписанной окружности?

Для решения задачи найдем расстояния от центра вписанной окружности (инцентра) до каждой из вершин треугольника $ABC$ и сравним их.

Обозначим стороны треугольника: $a = BC = 5$, $b = AC = 4$, $c = AB = 3$.

1. Определим тип треугольника.Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:$AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$BC^2 = 5^2 = 25$Поскольку $AB^2 + AC^2 = BC^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

2. Найдем радиус вписанной окружности ($r$).Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.Полупериметр равен:$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{3 + 4 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$.Теперь найдем радиус:$r = \frac{S}{p} = \frac{6}{6} = 1$.

3. Найдем расстояния от инцентра до вершин.Пусть $I$ — центр вписанной окружности. Расстояние от инцентра до вершины (например, $A$) можно найти по формуле $IA^2 = (p-a)^2 + r^2$, где $a$ — сторона, противолежащая вершине $A$. Аналогичные формулы применяются для вершин $B$ и $C$.Вычислим квадраты расстояний от инцентра $I$ до каждой из вершин:

• Расстояние до вершины $A$ (противолежащая сторона $a=BC=5$): $IA^2 = (p-a)^2 + r^2 = (6-5)^2 + 1^2 = 1^2 + 1 = 1+1=2$.

• Расстояние до вершины $B$ (противолежащая сторона $b=AC=4$): $IB^2 = (p-b)^2 + r^2 = (6-4)^2 + 1^2 = 2^2 + 1 = 4+1=5$.

• Расстояние до вершины $C$ (противолежащая сторона $c=AB=3$): $IC^2 = (p-c)^2 + r^2 = (6-3)^2 + 1^2 = 3^2 + 1 = 9+1=10$.

4. Сравним полученные расстояния.Сравнивая квадраты расстояний, получаем:$2 < 5 < 10$, следовательно, $IA^2 < IB^2 < IC^2$.Это означает, что $IA < IB < IC$.Таким образом, наименьшее расстояние от инцентра до вершины — это расстояние $IA$. Следовательно, вершина $A$ расположена ближе всех к центру вписанной окружности.

Ответ: Вершина A.