Номер 20, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

угольника со стороной 1.

20. Найдите радиусы вневписанных окружностей для прямоугольного треугольника, катеты которого равны 1.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, и гипотенузой $c$. По условию задачи, катеты равны 1, то есть $a=1$ и $b=1$.

Сначала найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:$c^2 = a^2 + b^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, откуда $c = \sqrt{2}$.

У любого треугольника есть три вневписанные окружности. Радиусы этих окружностей ($r_a$, $r_b$, $r_c$), касающихся сторон $a$, $b$ и $c$ соответственно, можно найти по формулам: $r_a = \frac{S}{p-a}$, $r_b = \frac{S}{p-b}$, $r_c = \frac{S}{p-c}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Вычислим площадь $S$ и полупериметр $p$ нашего треугольника.

Площадь: $S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Периметр: $P = a + b + c = 1 + 1 + \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$.

Полупериметр: $p = \frac{P}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем радиусы вневписанных окружностей.

Радиус окружности, касающейся катета $a$:$r_a = \frac{S}{p-a} = \frac{1/2}{(1 + \sqrt{2}/2) - 1} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку треугольник равнобедренный ($a=b$), радиус окружности, касающейся катета $b$, будет равен радиусу $r_a$:$r_b = r_a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Радиус окружности, касающейся гипотенузы $c$:$r_c = \frac{S}{p-c} = \frac{1/2}{(1 + \sqrt{2}/2) - \sqrt{2}} = \frac{1/2}{1 - \sqrt{2}/2} = \frac{1/2}{(2-\sqrt{2})/2} = \frac{1}{2-\sqrt{2}}$.

Упростим это выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:$r_c = \frac{1}{2-\sqrt{2}} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для прямоугольного треугольника также верны упрощенные формулы: $r_a = p-b$, $r_b = p-a$ и $r_c = p$. Проверим наши результаты:$r_a = p-b = (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.$r_b = p-a = (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.$r_c = p = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.Все вычисления верны.

Ответ: радиусы вневписанных окружностей равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.