Номер 25, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

25. На рисунке 20.7 изображен четырехугольник $ABCD$, вписанный в окружность. Попробуйте найти суммы углов $A$ и $C$, $B$ и $D$.

Рис. 20.7

Сумма углов A и C

Четырехугольник $ABCD$, изображенный на рисунке, является вписанным в окружность, так как все его вершины лежат на этой окружности.

Для решения задачи воспользуемся свойством вписанных углов. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол $A$ (полное название $\angle DAB$) — это вписанный угол, который опирается на дугу $BCD$. Следовательно, его величина равна:
$\angle A = \frac{1}{2} \smile BCD$

Угол $C$ (полное название $\angle BCD$) — это вписанный угол, который опирается на дугу $BAD$. Его величина равна:
$\angle C = \frac{1}{2} \smile BAD$

Теперь найдем сумму этих противолежащих углов:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \smile BCD + \frac{1}{2} \smile BAD = \frac{1}{2} (\smile BCD + \smile BAD)$

Дуги $BCD$ и $BAD$ вместе образуют полную окружность. Градусная мера полной окружности составляет $360^\circ$. Таким образом:
$\smile BCD + \smile BAD = 360^\circ$

Подставим это значение в выражение для суммы углов:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$

Это доказывает свойство вписанного четырехугольника: сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

Сумма углов B и D

Аналогичные рассуждения применим и для второй пары противолежащих углов: $B$ и $D$.

Угол $B$ ($\angle ABC$) — вписанный, опирается на дугу $ADC$. Его величина:
$\angle B = \frac{1}{2} \smile ADC$

Угол $D$ ($\angle ADC$) — вписанный, опирается на дугу $ABC$. Его величина:
$\angle D = \frac{1}{2} \smile ABC$

Найдем их сумму:
$\angle B + \angle D = \frac{1}{2} \smile ADC + \frac{1}{2} \smile ABC = \frac{1}{2} (\smile ADC + \smile ABC)$

Дуги $ADC$ и $ABC$ также вместе составляют полную окружность, градусная мера которой $360^\circ$.
$\smile ADC + \smile ABC = 360^\circ$

Следовательно, сумма углов $B$ и $D$ также равна:
$\angle B + \angle D = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$

Ответ: $180^\circ$.