Вопросы, страница 125 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какой многоугольник называется вписанным в окружность?

2. Какая окружность называется описанной около многоугольника?

3. Около всякого ли четырехугольника можно описать окружность?

4. Какой многоугольник называется описанным около окружности?

5. Какая окружность называется вписанной в многоугольник?

6. Во всякий ли четырехугольник можно вписать окружность?

7. Как выражается радиус окружности, вписанной в четырехугольник, через его полупериметр и площадь? $r = \frac{S}{p}$

1. Какой многоугольник называется вписанным в окружность?

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Иначе говоря, окружность проходит через каждую вершину многоугольника. Центр такой окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Ответ: Многоугольник, все вершины которого лежат на окружности.

2. Какая окружность называется описанной около многоугольника?

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Такая окружность единственна для данного многоугольника, и ее центр равноудален от всех вершин. Понятия "вписанный многоугольник" и "описанная окружность" являются взаимодополняющими.

Ответ: Окружность, которая проходит через все вершины многоугольника.

3. Около всякого ли четырехугольника можно описать окружность?

Нет, не около всякого. Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась $180^\circ$. Если $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ — углы четырехугольника, то должно выполняться условие $\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ$. Например, около прямоугольника и равнобедренной трапеции можно описать окружность, а около произвольного параллелограмма (не прямоугольника) — нельзя.

Ответ: Нет, только в том случае, если сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

4. Какой многоугольник называется описанным около окружности?

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Это означает, что окружность находится внутри многоугольника, и каждая сторона многоугольника имеет с ней ровно одну общую точку (точку касания). Центр такой окружности является точкой пересечения биссектрис углов многоугольника.

Ответ: Многоугольник, все стороны которого касаются окружности.

5. Какая окружность называется вписанной в многоугольник?

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Центр вписанной окружности равноудален от всех сторон многоугольника. Понятия "описанный многоугольник" и "вписанная окружность" описывают одну и ту же геометрическую конфигурацию с разных точек зрения.

Ответ: Окружность, которая касается всех сторон многоугольника.

6. Во всякий ли четырехугольник можно вписать окружность?

Нет, не во всякий. Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны. Это свойство известно как теорема Пито. Если $a, b, c, d$ — длины последовательных сторон четырехугольника, то должно выполняться равенство $a + c = b + d$. Например, в ромб или квадрат всегда можно вписать окружность, а в прямоугольник (не квадрат) — нельзя.

Ответ: Нет, только если суммы длин его противолежащих сторон равны ($a+c=b+d$).

7. Как выражается радиус окружности, вписанной в четырехугольник, через его полупериметр и площадь?

Эта формула справедлива для любого многоугольника, в который можно вписать окружность. Площадь $S$ такого многоугольника связана с радиусом $r$ вписанной окружности и его полупериметром $p$ простой зависимостью. Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон. Формула площади: $S = p \cdot r$. Выражая из этой формулы радиус, получаем соотношение для его нахождения.

Ответ: Радиус $r$ окружности, вписанной в четырехугольник, выражается формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь четырехугольника, а $p$ — его полупериметр.