Задания, страница 124 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Попробуйте доказать это самостоятельно.

Поскольку на изображении представлен общий призыв к доказательству без указания конкретной теоремы, в качестве примера докажем одну из фундаментальных теорем планиметрии — теорему о сумме углов треугольника.

Теорема: Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим его внутренние углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. То есть, $\angle CAB = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle BCA = \gamma$.

1. Через вершину $B$ проведём прямую $l$, параллельную стороне $AC$. Отметим на этой прямой точки $D$ и $E$ таким образом, чтобы точка $B$ находилась между ними.

2. Угол $\angle DBA$ и угол $\angle CAB$ ($\alpha$) являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $l$ и $AC$ и секущей $AB$. Согласно свойству параллельных прямых, такие углы равны. Следовательно, $\angle DBA = \alpha$.

3. Аналогично, угол $\angle EBC$ и угол $\angle BCA$ ($\gamma$) являются внутренними накрест лежащими углами при тех же параллельных прямых $l$ и $AC$ и секущей $BC$. Следовательно, $\angle EBC = \gamma$.

4. Углы $\angle DBA$, $\angle ABC$ ($\beta$) и $\angle EBC$ вместе образуют развёрнутый угол с вершиной в точке $B$, поскольку точки $D$, $B$ и $E$ лежат на одной прямой $l$. Величина развёрнутого угла по определению составляет $180^\circ$.

5. Таким образом, мы можем записать равенство: $\angle DBA + \angle ABC + \angle EBC = 180^\circ$.

6. Подставив в это равенство значения углов, полученные в пунктах 2 и 3, мы получаем: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Таким образом, мы доказали, что сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Что и требовалось доказать (Ч.Т.Д.).

Ответ: Сумма внутренних углов треугольника ($\alpha + \beta + \gamma$) всегда равна $180^\circ$. Утверждение доказано с использованием свойств параллельных прямых и понятия развёрнутого угла.