Номер 3, страница 126 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Можно ли описать окружность около:

а) прямоугольника;

б) параллелограмма, отличного от прямоугольника;

в) квадрата;

г) ромба, отличного от квадрата?

Окружность можно описать около выпуклого четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. То есть для четырехугольника с углами $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ должно выполняться равенство $\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ$. Проверим это свойство для каждой из данных фигур.

а) прямоугольника; Да, можно. У прямоугольника все углы прямые, то есть каждый равен $90^\circ$. Сумма любых двух противолежащих углов равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Поскольку это необходимое и достаточное условие выполняется, около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр такой окружности лежит на пересечении его диагоналей.
Ответ: да.

б) параллелограмма, отличного от прямоугольника; Нет, нельзя. У параллелограмма противолежащие углы равны. Пусть противолежащие углы равны $\alpha$ и $\gamma$. Чтобы около параллелограмма можно было описать окружность, должно выполняться условие $\alpha + \gamma = 180^\circ$. Так как $\alpha = \gamma$, то получаем $2\alpha = 180^\circ$, что означает $\alpha = 90^\circ$. Если у параллелограмма угол равен $90^\circ$, то он является прямоугольником. По условию, параллелограмм не является прямоугольником, значит, его углы не равны $90^\circ$, и описать окружность около него невозможно.
Ответ: нет.

в) квадрата; Да, можно. Квадрат является частным случаем прямоугольника, у которого все углы равны $90^\circ$. Сумма противолежащих углов равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Следовательно, условие для описания окружности выполняется. Около любого квадрата можно описать окружность.
Ответ: да.

г) ромба, отличного от квадрата? Нет, нельзя. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Как и для любого параллелограмма, чтобы около него можно было описать окружность, необходимо, чтобы его углы были прямыми. Ромб с прямыми углами является квадратом. По условию, ромб не является квадратом, а значит, его углы не равны $90^\circ$. Таким образом, сумма противолежащих углов не равна $180^\circ$, и описать окружность около такого ромба нельзя.
Ответ: нет.