Номер 4, страница 126 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого последовательно равны:

a) $90^\circ$, $90^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$;

б) $40^\circ$, $125^\circ$, $55^\circ$, $140^\circ$?

Окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Это основное свойство вписанного в окружность четырехугольника. Если углы четырехугольника даны последовательно, то противолежащими будут первый и третий, а также второй и четвертый углы. Проверим выполнение этого условия для каждого из случаев.

а) Даны последовательные углы четырехугольника: $90^\circ, 90^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.
Сумма всех углов четырехугольника должна быть $360^\circ$. Проверим: $90^\circ + 90^\circ + 60^\circ + 120^\circ = 360^\circ$. Условие выполняется, такой четырехугольник существует.
Теперь найдем суммы противолежащих углов.
Сумма первой пары противолежащих углов (первого и третьего):
$90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$
Полученная сумма не равна $180^\circ$. Уже этого достаточно, чтобы сделать вывод.
Для полноты решения проверим и вторую пару (второй и четвертый углы):
$90^\circ + 120^\circ = 210^\circ$
Эта сумма также не равна $180^\circ$. Следовательно, около данного четырехугольника нельзя описать окружность.
Ответ: нельзя.

б) Даны последовательные углы четырехугольника: $40^\circ, 125^\circ, 55^\circ, 140^\circ$.
Проверим сумму всех углов: $40^\circ + 125^\circ + 55^\circ + 140^\circ = 360^\circ$. Такой четырехугольник существует.
Найдем суммы противолежащих углов.
Сумма первой пары противолежащих углов (первого и третьего):
$40^\circ + 55^\circ = 95^\circ$
Так как $95^\circ \neq 180^\circ$, условие для описанной окружности не выполняется.
Проверим вторую пару (второй и четвертый углы):
$125^\circ + 140^\circ = 265^\circ$
Эта сумма также не равна $180^\circ$. Следовательно, около этого четырехугольника тоже нельзя описать окружность.
Ответ: нельзя.