Номер 23, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Высоты $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.

Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1 B_1 C$ подобны.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C$.

По условию, $AA_1$ и $BB_1$ — высоты треугольника $ABC$. Это означает, что $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$. Следовательно, треугольники $\triangle AA_1C$ и $\triangle BB_1C$ являются прямоугольными.

У треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C$ угол $\angle C$ является общим.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AA_1C$ (с прямым углом $\angle AA_1C = 90^\circ$) косинус угла $\angle C$ определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$ \cos(\angle C) = \frac{A_1C}{AC} $

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle BB_1C$ (с прямым углом $\angle BB_1C = 90^\circ$) косинус того же угла $\angle C$ равен:

$ \cos(\angle C) = \frac{B_1C}{BC} $

Приравнивая два полученных выражения для $\cos(\angle C)$, получаем равенство отношений сторон:

$ \frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC} $

Теперь мы можем применить второй признак подобия для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C$:

1. Угол $\angle C$ — общий ($\angle ACB = \angle A_1CB_1$).

2. Стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}$.

Поскольку два этих условия выполняются, треугольники подобны, то есть $\triangle A_1B_1C \sim \triangle ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C$ подобны по второму признаку подобия, так как у них есть общий угол $\angle C$, а стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны ($\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}$).