Страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите, что центр описанной окружности расположен ближе к большей стороне треугольника.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $a$, $b$ и $c$, лежащими против вершин $A$, $B$ и $C$ соответственно. Пусть $O$ — центр описанной окружности этого треугольника, а $R$ — её радиус. По определению, центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника, то есть $OA = OB = OC = R$.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Найдем расстояние от центра $O$ до сторон треугольника.

Рассмотрим сторону $BC$ (длиной $a$). Пусть $M_a$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $BC$. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка $OM_a$.

Сторона $BC$ является хордой описанной окружности. Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит эту хорду пополам. Следовательно, $M_a$ является серединой стороны $BC$, и $BM_a = M_aC = a/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBM_a$ (с прямым углом при вершине $M_a$). Его катеты — это $OM_a$ и $BM_a$, а гипотенуза — $OB$. По теореме Пифагора:

$OB^2 = OM_a^2 + BM_a^2$

Подставим известные значения:

$R^2 = OM_a^2 + (a/2)^2$

Отсюда выразим квадрат расстояния от центра $O$ до стороны $BC$:

$OM_a^2 = R^2 - a^2/4$

Аналогично, для стороны $AC$ (длиной $b$) расстояние от центра $O$ до неё, которое мы обозначим $OM_b$, определяется формулой:

$OM_b^2 = R^2 - b^2/4$

Теперь сравним расстояния до двух сторон, например, до стороны $a$ и до стороны $b$. Пусть сторона $a$ больше стороны $b$, то есть $a > b$.

Так как $a > b$ и обе длины положительны, то $a^2 > b^2$.

Разделим обе части неравенства на 4:

$a^2/4 > b^2/4$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$-a^2/4 < -b^2/4$

Прибавим к обеим частям $R^2$ (значение радиуса описанной окружности для данного треугольника постоянно):

$R^2 - a^2/4 < R^2 - b^2/4$

Мы получили, что $OM_a^2 < OM_b^2$.

Так как расстояния $OM_a$ и $OM_b$ являются неотрицательными величинами, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак:

$OM_a < OM_b$

Таким образом, мы доказали, что расстояние от центра описанной окружности до большей стороны ($a$) меньше, чем расстояние до меньшей стороны ($b$). Этот вывод справедлив для любой пары сторон треугольника. Следовательно, центр описанной окружности расположен ближе всего к самой большой стороне треугольника.

Ответ:

Пусть $a$ и $b$ — длины двух произвольных сторон треугольника, а $d_a$ и $d_b$ — расстояния от центра описанной окружности до этих сторон соответственно. Расстояние $d_a$ можно выразить через радиус описанной окружности $R$ и длину стороны $a$ с помощью теоремы Пифагора: $d_a = \sqrt{R^2 - (a/2)^2}$. Аналогично, $d_b = \sqrt{R^2 - (b/2)^2}$. Если $a > b$, то $a^2 > b^2$, и $a^2/4 > b^2/4$. Тогда $R^2 - a^2/4 < R^2 - b^2/4$, что означает $d_a^2 < d_b^2$. Поскольку расстояния неотрицательны, $d_a < d_b$. Это доказывает, что чем больше сторона, тем меньше расстояние от центра описанной окружности до нее. Следовательно, центр описанной окружности расположен ближе к большей стороне треугольника, что и требовалось доказать.

14. В треугольнике ABC $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 65^\circ$. Какая из сторон треугольника расположена ближе к центру описанной окружности?

Для того чтобы определить, какая из сторон треугольника расположена ближе к центру описанной окружности, необходимо сначала найти, какая из сторон является самой длинной. Расстояние от центра окружности до хорды обратно пропорционально длине хорды: чем длиннее хорда, тем ближе она к центру. Стороны треугольника являются хордами его описанной окружности.

Сначала найдем третий угол треугольника, зная, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

Дано: $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 65^\circ$.

Найдем $\angle C$:$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 65^\circ = 85^\circ$.

Теперь у нас есть все три угла треугольника: $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 65^\circ$, $\angle C = 85^\circ$.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Сравним углы:$\angle A < \angle B < \angle C$ ($30^\circ < 65^\circ < 85^\circ$).

Сторона, лежащая напротив угла $A$, — это сторона $BC$.
Сторона, лежащая напротив угла $B$, — это сторона $AC$.
Сторона, лежащая напротив угла $C$, — это сторона $AB$.

Соответственно, соотношение длин сторон будет таким же:$BC < AC < AB$.

Самая длинная сторона треугольника — это $AB$. Поскольку самая длинная хорда находится ближе всего к центру окружности, сторона $AB$ расположена ближе к центру описанной окружности.

Ответ: Сторона AB.

15. Докажите, что центр вписанной окружности расположен ближе к вершине большего угла треугольника.

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$ с углами $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ при вершинах $A$, $B$ и $C$ соответственно. Центр вписанной окружности, обозначим его $I$, является точкой пересечения биссектрис углов этого треугольника. Нам нужно доказать, что если один из углов, например $\alpha$, является наибольшим, то расстояние от центра $I$ до вершины $A$ будет наименьшим по сравнению с расстояниями до других вершин ($IA < IB$ и $IA < IC$).

Пусть, без ограничения общности, угол $\alpha$ является наибольшим в треугольнике, то есть $\alpha > \beta$ и $\alpha > \gamma$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AIB$. Его стороны — это отрезки $IA$, $IB$ и сторона $AB$ исходного треугольника. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны:$\angle IAB = \frac{\alpha}{2}$ (так как $AI$ — биссектриса угла $A$).$\angle IBA = \frac{\beta}{2}$ (так как $BI$ — биссектриса угла $B$).

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Сравним углы $\angle IAB$ и $\angle IBA$ в треугольнике $\triangle AIB$.По нашему предположению, $\alpha > \beta$. Разделив обе части неравенства на 2, получаем $\frac{\alpha}{2} > \frac{\beta}{2}$.Следовательно, в треугольнике $\triangle AIB$ имеем $\angle IAB > \angle IBA$.

Сторона $IB$ лежит против угла $\angle IAB$, а сторона $IA$ лежит против угла $\angle IBA$. Поскольку $\angle IAB > \angle IBA$, то и соответствующая противолежащая сторона больше: $IB > IA$, или $IA < IB$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle AIC$. Его углы при вершинах $A$ и $C$ равны $\angle IAC = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle ICA = \frac{\gamma}{2}$.Так как мы предположили, что $\alpha > \gamma$, то $\frac{\alpha}{2} > \frac{\gamma}{2}$, и, следовательно, $\angle IAC > \angle ICA$.В треугольнике $\triangle AIC$ сторона $IC$ лежит против угла $\angle IAC$, а сторона $IA$ — против угла $\angle ICA$. Из неравенства углов следует неравенство сторон: $IC > IA$, или $IA < IC$.

Таким образом, мы доказали, что если $\alpha$ — наибольший угол, то $IA < IB$ и $IA < IC$. Это означает, что центр вписанной окружности расположен ближе к вершине большего угла треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Расстояние от инцентра до вершины большего угла является наименьшим. Это следует из того, что при сравнении расстояний от инцентра до двух вершин (например, $IA$ и $IB$) в треугольнике $\triangle AIB$ они лежат против углов, равных половинам углов при других вершинах ($\beta/2$ и $\alpha/2$ соответственно). Если $\alpha > \beta$, то и $\alpha/2 > \beta/2$, а значит, по свойству треугольника, $IB > IA$.

16. В треугольнике $ABC$ $AB = 3$, $AC = 4$, $BC = 5$. Какая из вершин треугольника расположена ближе к центру вписанной окружности?

Для решения задачи найдем расстояния от центра вписанной окружности (инцентра) до каждой из вершин треугольника $ABC$ и сравним их.

Обозначим стороны треугольника: $a = BC = 5$, $b = AC = 4$, $c = AB = 3$.

1. Определим тип треугольника.Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:$AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$BC^2 = 5^2 = 25$Поскольку $AB^2 + AC^2 = BC^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

2. Найдем радиус вписанной окружности ($r$).Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.Полупериметр равен:$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{3 + 4 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$.Теперь найдем радиус:$r = \frac{S}{p} = \frac{6}{6} = 1$.

3. Найдем расстояния от инцентра до вершин.Пусть $I$ — центр вписанной окружности. Расстояние от инцентра до вершины (например, $A$) можно найти по формуле $IA^2 = (p-a)^2 + r^2$, где $a$ — сторона, противолежащая вершине $A$. Аналогичные формулы применяются для вершин $B$ и $C$.Вычислим квадраты расстояний от инцентра $I$ до каждой из вершин:

• Расстояние до вершины $A$ (противолежащая сторона $a=BC=5$): $IA^2 = (p-a)^2 + r^2 = (6-5)^2 + 1^2 = 1^2 + 1 = 1+1=2$.

• Расстояние до вершины $B$ (противолежащая сторона $b=AC=4$): $IB^2 = (p-b)^2 + r^2 = (6-4)^2 + 1^2 = 2^2 + 1 = 4+1=5$.

• Расстояние до вершины $C$ (противолежащая сторона $c=AB=3$): $IC^2 = (p-c)^2 + r^2 = (6-3)^2 + 1^2 = 3^2 + 1 = 9+1=10$.

4. Сравним полученные расстояния.Сравнивая квадраты расстояний, получаем:$2 < 5 < 10$, следовательно, $IA^2 < IB^2 < IC^2$.Это означает, что $IA < IB < IC$.Таким образом, наименьшее расстояние от инцентра до вершины — это расстояние $IA$. Следовательно, вершина $A$ расположена ближе всех к центру вписанной окружности.

Ответ: Вершина A.

17. Стороны треугольника равны 5, 6, 7. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

Для решения задачи нам понадобится площадь треугольника. Поскольку известны все три стороны, для нахождения площади удобно использовать формулу Герона.

Даны стороны треугольника: $a = 5$, $b = 6$, $c = 7$.

Сначала вычислим полупериметр треугольника $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+7}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Теперь вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216}$

Упростим полученное значение площади: $S = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$.

Теперь, зная площадь, мы можем найти радиусы описанной и вписанной окружностей.

Радиус описанной окружности

Формула для радиуса описанной окружности ($R$) через стороны и площадь треугольника:

$R = \frac{abc}{4S}$

Подставляем наши значения:

$R = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}}$

Сокращаем дробь на 6:

$R = \frac{35}{4\sqrt{6}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$R = \frac{35 \cdot \sqrt{6}}{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{4 \cdot 6} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

Ответ: $R = \frac{35\sqrt{6}}{24}$.

Радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности ($r$) через площадь и полупериметр:

$r = \frac{S}{p}$

Подставляем наши значения:

$r = \frac{6\sqrt{6}}{9}$

Сокращаем дробь на 3:

$r = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $r = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

18. Докажите, что для радиуса $r_a$ окружности, вневписанной в треугольник ABC со сторонами $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$ и касающейся стороны $BC$, имеет место формула

$r_a = \frac{2S}{b+c-a}$

18. Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ и площадью $S$. Пусть $O_a$ — центр вневписанной окружности, которая касается стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Обозначим радиус этой окружности как $r_a$.

По определению, центр $O_a$ равноудален от прямых $BC$, $AB$ и $AC$. Пусть $K_a$, $M_a$, $L_a$ — точки касания окружности с прямой $BC$, продолжением $AB$ и продолжением $AC$ соответственно. Тогда расстояния от $O_a$ до этих прямых равны $r_a$, и являются высотами в соответствующих треугольниках с вершиной $O_a$.

Соединим центр $O_a$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через площади треугольников с общей вершиной $O_a$.
Площадь треугольника $ABO_a$ равна $S_{ABO_a} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r_a = \frac{1}{2}cr_a$.
Площадь треугольника $ACO_a$ равна $S_{ACO_a} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot r_a = \frac{1}{2}br_a$.
Площадь треугольника $BCO_a$ равна $S_{BCO_a} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r_a = \frac{1}{2}ar_a$.

Площадь треугольника $ABC$ ($S$) можно представить как сумму площадей треугольников $ABO_a$ и $ACO_a$ минус площадь треугольника $BCO_a$. Геометрически, фигура, образованная объединением треугольников $ABO_a$ и $ACO_a$, состоит из треугольника $ABC$ и треугольника $BCO_a$.
Следовательно, $S_{ABO_a} + S_{ACO_a} = S_{ABC} + S_{BCO_a}$, откуда $S = S_{ABO_a} + S_{ACO_a} - S_{BCO_a}$.

Подставим выражения для площадей в это равенство:
$S = \frac{1}{2}cr_a + \frac{1}{2}br_a - \frac{1}{2}ar_a$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r_a$ за скобки:
$S = \frac{1}{2}r_a(b+c-a)$.

Домножим обе части равенства на 2 и выразим $r_a$:
$2S = r_a(b+c-a)$,
откуда следует $r_a = \frac{2S}{b+c-a}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $r_a = \frac{2S}{b + c - a}$ доказана.

19. Найдите радиус вневписанной окружности для правильного треугольника со стороной 1.

Радиус вневписанной окружности треугольника можно найти по формуле, связывающей его с площадью и полупериметром треугольника. Для правильного (равностороннего) треугольника все три вневписанные окружности имеют одинаковый радиус, поскольку все стороны и углы равны.

Пусть сторона правильного треугольника равна $a$. По условию задачи $a=1$.

Общая формула для радиуса вневписанной окружности $r_a$, касающейся стороны $a$:

$r_a = \frac{S}{p-a}$

где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $p$ правильного треугольника со стороной $a=1$.

Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон:

$p = \frac{a+a+a}{2} = \frac{3a}{2}$

Подставляем значение $a=1$:

$p = \frac{3 \cdot 1}{2} = \frac{3}{2}$

2. Найдем площадь $S$ правильного треугольника со стороной $a=1$.

Формула площади правильного треугольника:

$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставляем значение $a=1$:

$S = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

3. Вычислим радиус вневписанной окружности $r_a$.

Теперь подставим найденные значения $S$ и $p$ в исходную формулу:

$r_a = \frac{S}{p-a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{2}-1}$

Вычислим знаменатель:

$\frac{3}{2}-1 = \frac{3}{2}-\frac{2}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь выполним деление:

$r_a = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, радиус вневписанной окружности для правильного треугольника со стороной 1 равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

угольника со стороной 1.

20. Найдите радиусы вневписанных окружностей для прямоугольного треугольника, катеты которого равны 1.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, и гипотенузой $c$. По условию задачи, катеты равны 1, то есть $a=1$ и $b=1$.

Сначала найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:$c^2 = a^2 + b^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, откуда $c = \sqrt{2}$.

У любого треугольника есть три вневписанные окружности. Радиусы этих окружностей ($r_a$, $r_b$, $r_c$), касающихся сторон $a$, $b$ и $c$ соответственно, можно найти по формулам: $r_a = \frac{S}{p-a}$, $r_b = \frac{S}{p-b}$, $r_c = \frac{S}{p-c}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Вычислим площадь $S$ и полупериметр $p$ нашего треугольника.

Площадь: $S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Периметр: $P = a + b + c = 1 + 1 + \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$.

Полупериметр: $p = \frac{P}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем радиусы вневписанных окружностей.

Радиус окружности, касающейся катета $a$:$r_a = \frac{S}{p-a} = \frac{1/2}{(1 + \sqrt{2}/2) - 1} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку треугольник равнобедренный ($a=b$), радиус окружности, касающейся катета $b$, будет равен радиусу $r_a$:$r_b = r_a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Радиус окружности, касающейся гипотенузы $c$:$r_c = \frac{S}{p-c} = \frac{1/2}{(1 + \sqrt{2}/2) - \sqrt{2}} = \frac{1/2}{1 - \sqrt{2}/2} = \frac{1/2}{(2-\sqrt{2})/2} = \frac{1}{2-\sqrt{2}}$.

Упростим это выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:$r_c = \frac{1}{2-\sqrt{2}} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для прямоугольного треугольника также верны упрощенные формулы: $r_a = p-b$, $r_b = p-a$ и $r_c = p$. Проверим наши результаты:$r_a = p-b = (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.$r_b = p-a = (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.$r_c = p = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.Все вычисления верны.

Ответ: радиусы вневписанных окружностей равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

21. Найдите радиусы вневписанных окружностей для равнобедренного треугольника, стороны которого равны 5, 5, 8.

Дан равнобедренный треугольник со сторонами $a=5$, $b=5$ и основанием $c=8$.

Радиусы вневписанных окружностей ($r_a$, $r_b$, $r_c$), касающихся соответственно сторон $a$, $b$, $c$, находятся по формуле $r_x = \frac{S}{p-x}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Вычислим полупериметр треугольника $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+5+8}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

2. Вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{9(9-5)(9-5)(9-8)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{144} = 12$.

3. Теперь найдем радиусы вневписанных окружностей.

Радиус окружности $r_a$, касающейся боковой стороны $a=5$:

$r_a = \frac{S}{p-a} = \frac{12}{9-5} = \frac{12}{4} = 3$.

Радиус окружности $r_b$, касающейся другой боковой стороны $b=5$:

Поскольку треугольник равнобедренный и стороны $a$ и $b$ равны, радиус $r_b$ будет равен $r_a$.

$r_b = \frac{S}{p-b} = \frac{12}{9-5} = \frac{12}{4} = 3$.

Радиус окружности $r_c$, касающейся основания $c=8$:

$r_c = \frac{S}{p-c} = \frac{12}{9-8} = \frac{12}{1} = 12$.

Таким образом, у треугольника есть два радиуса вневписанных окружностей, равных 3 (касаются боковых сторон), и один радиус, равный 12 (касается основания).

Ответ: радиусы вневписанных окружностей равны 3, 3 и 12.

22. Высоты $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.

Докажите, что треугольники $ABH$ и $B_1A_1H$ подобны.

Рассмотрим треугольники $AHB_1$ и $BHA_1$.

По условию задачи, $AA_1$ и $BB_1$ являются высотами треугольника $ABC$. Это значит, что они перпендикулярны сторонам, к которым проведены: $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$.Следовательно, углы $\angle AB_1H$ и $\angle BA_1H$ являются прямыми: $\angle AB_1H = 90^\circ$ и $\angle BA_1H = 90^\circ$.

Теперь сравним треугольники $AHB_1$ и $BHA_1$:
1. $\angle AB_1H = \angle BA_1H = 90^\circ$ (по определению высоты).
2. $\angle AHB_1 = \angle BHA_1$ (как вертикальные углы).

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники $AHB_1$ и $BHA_1$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).Запишем это: $\triangle AHB_1 \sim \triangle BHA_1$.

Из подобия этих треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны. Соответственными сторонами являются те, что лежат напротив равных углов. Таким образом, получаем соотношение:$\frac{AH}{BH} = \frac{B_1H}{A_1H}$

Преобразуем эту пропорцию. По свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), можно записать:$AH \cdot A_1H = BH \cdot B_1H$

Разделив обе части этого равенства на произведение $A_1H \cdot B_1H$ (эти отрезки не равны нулю для невырожденного треугольника), получим новое соотношение:$\frac{AH}{B_1H} = \frac{BH}{A_1H}$

Теперь рассмотрим треугольники $ABH$ и $B_1A_1H$, подобие которых нам необходимо доказать.
1. Углы $\angle AHB$ и $\angle B_1HA_1$ равны, так как они являются вертикальными: $\angle AHB = \angle B_1HA_1$.
2. Мы только что доказали, что стороны, образующие эти углы в данных треугольниках, пропорциональны: $\frac{AH}{B_1H} = \frac{BH}{A_1H}$.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольники $ABH$ и $B_1A_1H$ подобны.Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $ABH$ и $B_1A_1H$ подобны.

23. Высоты $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.

Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1 B_1 C$ подобны.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C$.

По условию, $AA_1$ и $BB_1$ — высоты треугольника $ABC$. Это означает, что $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$. Следовательно, треугольники $\triangle AA_1C$ и $\triangle BB_1C$ являются прямоугольными.

У треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C$ угол $\angle C$ является общим.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AA_1C$ (с прямым углом $\angle AA_1C = 90^\circ$) косинус угла $\angle C$ определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$ \cos(\angle C) = \frac{A_1C}{AC} $

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle BB_1C$ (с прямым углом $\angle BB_1C = 90^\circ$) косинус того же угла $\angle C$ равен:

$ \cos(\angle C) = \frac{B_1C}{BC} $

Приравнивая два полученных выражения для $\cos(\angle C)$, получаем равенство отношений сторон:

$ \frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC} $

Теперь мы можем применить второй признак подобия для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C$:

1. Угол $\angle C$ — общий ($\angle ACB = \angle A_1CB_1$).

2. Стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}$.

Поскольку два этих условия выполняются, треугольники подобны, то есть $\triangle A_1B_1C \sim \triangle ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C$ подобны по второму признаку подобия, так как у них есть общий угол $\angle C$, а стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны ($\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}$).

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

24. Повторите понятия многоугольника и площади многоугольника.

Понятие многоугольника

Многоугольник – это геометрическая фигура, которая является частью плоскости, ограниченной замкнутой ломаной линией. Точки, в которых звенья ломаной соединяются, называются вершинами многоугольника, а сами отрезки (звенья) – сторонами многоугольника. Две стороны, имеющие общую вершину, называются смежными. Углы, образованные смежными сторонами внутри многоугольника, называются его внутренними углами. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины, называется диагональю.

Многоугольники классифицируются по числу сторон. Например: треугольник (3 стороны), четырехугольник (4 стороны), пятиугольник (5 сторон). Многоугольник с $n$ сторонами и $n$ вершинами называют $n$-угольником.

Многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. Все внутренние углы выпуклого многоугольника меньше $180^\circ$. Если же хотя бы один внутренний угол многоугольника больше $180^\circ$, то такой многоугольник называется невыпуклым или вогнутым. Сумма внутренних углов любого выпуклого $n$-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, называется правильным.

Ответ: Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, которая состоит из вершин (точек) и сторон (отрезков).

Понятие площади многоугольника

Площадь многоугольника – это положительная величина, которая показывает, какой размер имеет часть плоскости, ограниченная сторонами этого многоугольника. Площадь измеряется в квадратных единицах (например, $мм^2$, $см^2$, $м^2$).

Основные свойства площади:

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, которые не перекрываются, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников (свойство аддитивности).

3. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, принимается за единицу измерения площади.

Для нахождения площадей основных видов многоугольников используются следующие формулы:

- Площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$: $S = a \cdot b$.

- Площадь квадрата со стороной $a$: $S = a^2$.

- Площадь параллелограмма с основанием $a$ и высотой $h$, проведенной к этому основанию: $S = a \cdot h$.

- Площадь треугольника с основанием $a$ и высотой $h$, проведенной к этому основанию: $S = \frac{1}{2} a \cdot h$.

- Площадь трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

- Площадь ромба с диагоналями $d_1$ и $d_2$: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$.

Ответ: Площадь многоугольника — это численная характеристика, показывающая размер части плоскости, ограниченной сторонами многоугольника, и обладающая свойствами аддитивности и инвариантности относительно конгруэнтности.

25. На рисунке 20.7 изображен четырехугольник $ABCD$, вписанный в окружность. Попробуйте найти суммы углов $A$ и $C$, $B$ и $D$.

Рис. 20.7

Сумма углов A и C

Четырехугольник $ABCD$, изображенный на рисунке, является вписанным в окружность, так как все его вершины лежат на этой окружности.

Для решения задачи воспользуемся свойством вписанных углов. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол $A$ (полное название $\angle DAB$) — это вписанный угол, который опирается на дугу $BCD$. Следовательно, его величина равна:
$\angle A = \frac{1}{2} \smile BCD$

Угол $C$ (полное название $\angle BCD$) — это вписанный угол, который опирается на дугу $BAD$. Его величина равна:
$\angle C = \frac{1}{2} \smile BAD$

Теперь найдем сумму этих противолежащих углов:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \smile BCD + \frac{1}{2} \smile BAD = \frac{1}{2} (\smile BCD + \smile BAD)$

Дуги $BCD$ и $BAD$ вместе образуют полную окружность. Градусная мера полной окружности составляет $360^\circ$. Таким образом:
$\smile BCD + \smile BAD = 360^\circ$

Подставим это значение в выражение для суммы углов:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$

Это доказывает свойство вписанного четырехугольника: сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

Сумма углов B и D

Аналогичные рассуждения применим и для второй пары противолежащих углов: $B$ и $D$.

Угол $B$ ($\angle ABC$) — вписанный, опирается на дугу $ADC$. Его величина:
$\angle B = \frac{1}{2} \smile ADC$

Угол $D$ ($\angle ADC$) — вписанный, опирается на дугу $ABC$. Его величина:
$\angle D = \frac{1}{2} \smile ABC$

Найдем их сумму:
$\angle B + \angle D = \frac{1}{2} \smile ADC + \frac{1}{2} \smile ABC = \frac{1}{2} (\smile ADC + \smile ABC)$

Дуги $ADC$ и $ABC$ также вместе составляют полную окружность, градусная мера которой $360^\circ$.
$\smile ADC + \smile ABC = 360^\circ$

Следовательно, сумма углов $B$ и $D$ также равна:
$\angle B + \angle D = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$

Ответ: $180^\circ$.