Страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, боковая сторона которого стягивает дугу в $60^\circ$.

Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник, вписанный в окружность, где $AB = BC$ — боковые стороны, а $AC$ — основание. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

По условию, боковая сторона стягивает дугу в $60°$. Так как боковые стороны равны ($AB = BC$), то и дуги, стягиваемые этими сторонами, равны: $\cup AB = \cup BC = 60°$.

Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол при основании $\angle BCA$ опирается на дугу $\cup AB$. Его величина равна:$\angle BCA = \frac{1}{2} \cdot \cup AB = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°$.

Поскольку углы при основании равны, $\angle BAC = \angle BCA = 30°$.

Сумма углов треугольника равна $180°$. Найдем угол при вершине $\angle ABC$:$\angle ABC = 180° - (\angle BAC + \angle BCA) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°$.

Ответ: $30°$, $30°$, $120°$.

5. Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, если его основание стягивает дугу в $100^\circ$.

Пусть в окружность вписан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию задачи, основание $AC$ стягивает дугу в $100°$.

Хорда $AC$ делит окружность на две дуги: меньшую, градусная мера которой равна $100°$, и большую, с градусной мерой $360° - 100° = 260°$. Вершина $B$, противолежащая основанию, может находиться на любой из этих дуг. Следовательно, задача имеет два возможных решения.

Случай 1. Вершина $B$ находится на большей дуге.

В этом случае вписанный угол $\angle B$ опирается на меньшую дугу $AC$. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

$\angle B = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50°$

Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Сумма всех углов треугольника равна $180°$.

$\angle A + \angle C + \angle B = 180°$

$2\angle A + 50° = 180°$

$2\angle A = 130°$

$\angle A = \angle C = 65°$

Таким образом, углы треугольника равны $50°, 65°, 65°$.

Случай 2. Вершина $B$ находится на меньшей дуге.

В этом случае вписанный угол $\angle B$ опирается на большую дугу $AC$.

$\angle B = \frac{1}{2} \cdot 260° = 130°$

Аналогично первому случаю, находим углы при основании.

$\angle A + \angle C + \angle B = 180°$

$2\angle A + 130° = 180°$

$2\angle A = 50°$

$\angle A = \angle C = 25°$

Таким образом, углы треугольника равны $130°, 25°, 25°$.

Ответ: $50°, 65°, 65°$ или $130°, 25°, 25°$.

6. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

Радиус описанной окружности

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. По условию задачи, $a = 3$ см и $b = 4$ см.

Для нахождения радиуса описанной окружности ($R$) сначала необходимо вычислить длину гипотенузы ($c$) с помощью теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим значения катетов:

$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$c = \sqrt{25} = 5$ см.

Центр описанной окружности для прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы. Следовательно, радиус этой окружности равен половине длины гипотенузы.

$R = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$ см.

Ответ: радиус описанной окружности равен 2,5 см.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности ($r$) для прямоугольного треугольника вычисляется по формуле, связывающей его стороны: $r = \frac{a + b - c}{2}$.

Мы используем известные нам значения: катеты $a = 3$ см, $b = 4$ см и вычисленную ранее гипотенузу $c = 5$ см.

Подставляем значения в формулу:

$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 1 см.

7. Для данных треугольников (рис. 20.6) постройте центры описанных окружностей.

а)

б)

в)

Рис. 20.6

Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Чтобы найти эту точку, достаточно построить два серединных перпендикуляра и найти их точку пересечения. Примем сторону одной клетки сетки за единицу длины и для удобства расчетов поместим вершину A каждого треугольника в начало координат.

а) Поместим вершины треугольника в точки с координатами $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ и $C(2, 2)$. Найдем угловые коэффициенты сторон $AC$ и $BC$.

Угловой коэффициент прямой $AC$: $k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{2-0}{2-0} = 1$.

Угловой коэффициент прямой $BC$: $k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{2-0}{2-4} = \frac{2}{-2} = -1$.

Поскольку произведение угловых коэффициентов $k_{AC} \cdot k_{BC} = 1 \cdot (-1) = -1$, стороны $AC$ и $BC$ перпендикулярны, то есть $\angle C = 90^\circ$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине его гипотенузы. Гипотенузой является сторона $AB$.

Найдем координаты середины $O$ отрезка $AB$:

$O = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right) = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (2, 0)$.

Ответ: Центр описанной окружности находится в точке $(2, 0)$, которая является серединой стороны $AB$.

б) Поместим вершины треугольника в точки с координатами $A(0, 0)$, $B(5, 0)$ и $C(2, 3)$. Найдем точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $AC$.

Сторона $AB$ лежит на оси $x$. Ее середина имеет координаты $M_{AB} = (\frac{0+5}{2}, \frac{0+0}{2}) = (2.5, 0)$. Серединный перпендикуляр к горизонтальному отрезку является вертикальной прямой, проходящей через его середину. Уравнение этого перпендикуляра: $x = 2.5$.

Середина стороны $AC$ имеет координаты $M_{AC} = (\frac{0+2}{2}, \frac{0+3}{2}) = (1, 1.5)$. Угловой коэффициент прямой $AC$ равен $k_{AC} = \frac{3-0}{2-0} = \frac{3}{2}$. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра к $AC$ является величиной, обратной по знаку и значению: $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AC}} = -\frac{2}{3}$. Уравнение перпендикуляра, проходящего через точку $(1, 1.5)$ с угловым коэффициентом $-\frac{2}{3}$: $y - 1.5 = -\frac{2}{3}(x - 1)$.

Для нахождения центра описанной окружности решим систему уравнений, подставив $x = 2.5$ во второе уравнение:

$y - 1.5 = -\frac{2}{3}(2.5 - 1)$

$y - 1.5 = -\frac{2}{3}(1.5)$

$y - 1.5 = -1$

$y = 0.5$

Ответ: Центр описанной окружности находится в точке с координатами $(2.5, 0.5)$.

в) Поместим вершины треугольника в точки с координатами $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ и $C(3, 2)$. Этот треугольник является тупоугольным, поэтому центр описанной окружности будет лежать вне его. Найдем точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $BC$.

Серединный перпендикуляр к горизонтальной стороне $AB$ — это вертикальная прямая, проходящая через ее середину $M_{AB} = (\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3, 0)$. Уравнение перпендикуляра: $x = 3$.

Середина стороны $BC$ имеет координаты $M_{BC} = (\frac{6+3}{2}, \frac{0+2}{2}) = (4.5, 1)$. Угловой коэффициент прямой $BC$ равен $k_{BC} = \frac{2-0}{3-6} = -\frac{2}{3}$. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра к $BC$ равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{BC}} = \frac{3}{2}$. Уравнение перпендикуляра, проходящего через точку $(4.5, 1)$ с угловым коэффициентом $\frac{3}{2}$: $y - 1 = \frac{3}{2}(x - 4.5)$.

Решим систему, подставив $x=3$ во второе уравнение:

$y - 1 = \frac{3}{2}(3 - 4.5)$

$y - 1 = \frac{3}{2}(-1.5)$

$y - 1 = -2.25$

$y = -1.25$

Ответ: Центр описанной окружности находится в точке с координатами $(3, -1.25)$.

8. Точки $A$, $B$, $C$, расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как $2 : 3 : 7$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Пусть точки A, B, C делят окружность на три дуги, которые мы обозначим как ◡AB, ◡BC и ◡AC. По условию, градусные меры этих дуг относятся как $2:3:7$.

Сумма градусных мер всех дуг, составляющих окружность, равна $360°$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры дуг будут равны $2x$, $3x$ и $7x$.

Составим и решим уравнение, чтобы найти $x$:

$2x + 3x + 7x = 360°$

$12x = 360°$

$x = \frac{360°}{12}$

$x = 30°$

Теперь найдем градусные меры каждой из трех дуг:

Градусная мера меньшей дуги (пусть это будет ◡AB) = $2x = 2 \cdot 30° = 60°$.

Градусная мера средней дуги (пусть это будет ◡BC) = $3x = 3 \cdot 30° = 90°$.

Градусная мера большей дуги (соответственно, ◡AC) = $7x = 7 \cdot 30° = 210°$.

Углы треугольника ABC являются вписанными в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Найдем каждый угол треугольника ABC:

Угол A ($\angle BAC$) опирается на дугу ◡BC. Его величина равна:

$\angle A = \frac{1}{2} \cdot \text{◡BC} = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°$

Угол B ($\angle ABC$) опирается на дугу ◡AC. Его величина равна:

$\angle B = \frac{1}{2} \cdot \text{◡AC} = \frac{1}{2} \cdot 210° = 105°$

Угол C ($\angle BCA$) опирается на дугу ◡AB. Его величина равна:

$\angle C = \frac{1}{2} \cdot \text{◡AB} = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°$

Проверим, что сумма углов треугольника равна $180°$:

$45° + 105° + 30° = 180°$

Ответ: углы треугольника ABC равны $45°$, $105°$ и $30°$.

9. Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна 10. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если противолежащий этой стороне угол $C$ равен:

а) $30^\circ$;

б) $45^\circ$;

в) $60^\circ$;

г) $90^\circ$;

д) $150^\circ$.

Для решения данной задачи используется следствие из теоремы синусов, которое устанавливает связь между стороной треугольника, противолежащим ей углом и радиусом описанной около треугольника окружности. Формула выглядит следующим образом:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

где $a$ – сторона треугольника, $\alpha$ – угол, противолежащий этой стороне, а $R$ – радиус описанной окружности.

В нашем случае дана сторона $AB = 10$ и угол $C$, который ей противолежит. Подставив эти значения в формулу, получим:

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

Отсюда мы можем выразить радиус $R$:

$R = \frac{AB}{2 \sin C} = \frac{10}{2 \sin C} = \frac{5}{\sin C}$

Теперь рассчитаем радиус для каждого значения угла $C$.

а) Если угол $C = 30^{\circ}$, то $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

$R = \frac{5}{\sin 30^{\circ}} = \frac{5}{1/2} = 5 \cdot 2 = 10$.

Ответ: 10.

б) Если угол $C = 45^{\circ}$, то $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$R = \frac{5}{\sin 45^{\circ}} = \frac{5}{\sqrt{2}/2} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$.

Ответ: $5\sqrt{2}$.

в) Если угол $C = 60^{\circ}$, то $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$R = \frac{5}{\sin 60^{\circ}} = \frac{5}{\sqrt{3}/2} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{10\sqrt{3}}{3}$.

г) Если угол $C = 90^{\circ}$, то $\sin 90^{\circ} = 1$.

$R = \frac{5}{\sin 90^{\circ}} = \frac{5}{1} = 5$.

В этом случае треугольник является прямоугольным, а его гипотенуза $AB$ является диаметром описанной окружности. Следовательно, $2R = AB = 10$, откуда $R=5$.

Ответ: 5.

д) Если угол $C = 150^{\circ}$, то $\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

$R = \frac{5}{\sin 150^{\circ}} = \frac{5}{1/2} = 5 \cdot 2 = 10$.

Ответ: 10.

10. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 3 см. Найдите сторону AB этого треугольника, если противолежащий ей угол C равен: а) $30^\circ$; б) $45^\circ$; в) $60^\circ$; г) $90^\circ$; д) $150^\circ$.

Для решения этой задачи воспользуемся следствием из теоремы синусов (расширенной теоремой синусов), которое связывает сторону треугольника, противолежащий ей угол и радиус описанной окружности. Формула имеет вид:

$ \frac{c}{\sin C} = 2R $

где $c$ — сторона треугольника (в нашем случае это сторона $AB$), $C$ — противолежащий ей угол, а $R$ — радиус описанной окружности.

Из этой формулы мы можем выразить сторону $AB$:

$ AB = 2R \sin C $

По условию задачи радиус описанной окружности $R = 3$ см. Подставим это значение в формулу и решим задачу для каждого из предложенных углов.

а) Если угол $C = 30^\circ$, то сторону $AB$ находим следующим образом:

$ AB = 2 \cdot 3 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 $ см.

Ответ: 3 см.

б) Если угол $C = 45^\circ$, то сторона $AB$ равна:

$ AB = 2 \cdot 3 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} $ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

в) Если угол $C = 60^\circ$, то сторона $AB$ равна:

$ AB = 2 \cdot 3 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} $ см.

Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

г) Если угол $C = 90^\circ$, то сторона $AB$ равна:

$ AB = 2 \cdot 3 \cdot \sin(90^\circ) = 6 \cdot 1 = 6 $ см. (В этом случае треугольник прямоугольный, а сторона $AB$ является его гипотенузой и одновременно диаметром описанной окружности).

Ответ: 6 см.

д) Если угол $C = 150^\circ$, то сторона $AB$ равна:

Используя формулу приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha) $, находим $ \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $.

$ AB = 2 \cdot 3 \cdot \sin(150^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 $ см.

Ответ: 3 см.

11. Стороны треугольника равны 5, 5, 8. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

Радиус описанной окружности

Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ используется формула $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь. В данном случае стороны треугольника равны $a=5$, $b=5$, $c=8$.

Сначала найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона. Для этого предварительно вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+5+8}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
Теперь вычисляем площадь:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{9(9-5)(9-5)(9-8)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{144} = 12$.

Подставим известные значения в формулу для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 12} = \frac{200}{48} = \frac{25}{6}$.

Ответ: $\frac{25}{6}$.

Радиус вписанной окружности

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ используется формула $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Из предыдущих вычислений нам известны площадь $S=12$ и полупериметр $p=9$. Подставим эти значения в формулу:
$r = \frac{S}{p} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

12. Окружность разделена точками $A$, $B$, $C$ на дуги, градусные величины которых относятся как $11 : 3 : 4$. Через точки $A$, $B$, $C$ проведены касательные до их взаимного пересечения. Найдите углы образовавшегося треугольника.

Пусть точки $A, B, C$ делят окружность на три дуги, градусные меры которых, согласно условию, относятся как $11 : 3 : 4$. Полная окружность составляет $360°$. Найдем градусные меры каждой дуги.
Сумма частей отношения: $11 + 3 + 4 = 18$.
Градусная мера одной части: $360° / 18 = 20°$.
Тогда градусные меры дуг равны:
Дуга 1: $11 \cdot 20° = 220°$
Дуга 2: $3 \cdot 20° = 60°$
Дуга 3: $4 \cdot 20° = 80°$
Проверка: $220° + 60° + 80° = 360°$.

Через точки $A, B, C$ проведены касательные к окружности, которые, пересекаясь, образуют треугольник. Найдем углы этого треугольника.Угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности, равен полуразности градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между точками касания.Пусть $\alpha$ — угол между касательными, а $m_{большая}$ и $m_{меньшая}$ — градусные меры дуг. Тогда формула для вычисления угла:$\alpha = \frac{1}{2} (m_{большая} - m_{меньшая})$

Вычислим углы, которые образуют пары касательных в точках их пересечения:
1. Для дуги в $220°$ (это большая дуга), соответствующая ей меньшая дуга равна $360° - 220° = 140°$. Угол, образованный касательными в точках, ограничивающих эти дуги, равен: $\alpha_1 = \frac{1}{2} (220° - 140°) = \frac{1}{2} (80°) = 40°$
2. Для дуги в $60°$ (это меньшая дуга), соответствующая ей большая дуга равна $360° - 60° = 300°$. Угол, образованный касательными, равен: $\alpha_2 = \frac{1}{2} (300° - 60°) = \frac{1}{2} (240°) = 120°$
3. Для дуги в $80°$ (это меньшая дуга), соответствующая ей большая дуга равна $360° - 80° = 280°$. Угол, образованный касательными, равен: $\alpha_3 = \frac{1}{2} (280° - 80°) = \frac{1}{2} (200°) = 100°$

Мы получили три угла: $40°, 120°, 100°$. Сумма этих углов равна $40° + 120° + 100° = 260°$, что не равно $180°$. Это означает, что не все эти углы являются внутренними углами образовавшегося треугольника.
Такая ситуация возникает, когда треугольник, вписанный в окружность (с вершинами в точках $A, B, C$), является тупоугольным. Углы вписанного треугольника равны половинам противолежащих дуг: $220°/2 = 110°$, $60°/2 = 30°$, $80°/2 = 40°$. Так как один из углов ($110°$) больше $90°$, треугольник тупоугольный. В этом случае исходная окружность является не вписанной, а вневписанной для треугольника, образованного касательными.
Внутренние углы треугольника, образованного тремя пересекающимися прямыми (касательными), должны в сумме давать $180°$. Углы при вершинах этого треугольника нужно выбрать из пар $(\alpha, 180° - \alpha)$.Найденные нами углы $40°, 120°, 100°$ — это углы между касательными. Чтобы получить внутренние углы треугольника, нужно выбрать по одному углу из каждой пары так, чтобы их сумма была $180°$.Пары углов: $(40°, 140°)$, $(120°, 60°)$, $(100°, 80°)$.Проверим комбинации. Единственная комбинация, дающая в сумме $180°$, это $40°, 60°, 80°$.$40° + 60° + 80° = 180°$.Следовательно, углы образовавшегося треугольника равны $40°, 60°$ и $80°$.

Ответ: $40°, 60°, 80°$.