Страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

23. Повторите понятия правильного многоугольника, вписанного и описанного многоугольника.

Правильный многоугольник

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны между собой.

Ключевые свойства правильного многоугольника:

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность (все его вершины будут лежать на этой окружности).

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность (все его стороны будут касаться этой окружности).

3. Центры вписанной и описанной окружностей для правильного многоугольника совпадают. Эта общая точка называется центром правильного многоугольника.

Внутренний угол правильного $n$-угольника можно рассчитать по формуле: $\alpha_n = \frac{180^\circ \cdot (n-2)}{n}$, где $n$ — количество сторон многоугольника.

Простейшими примерами являются равносторонний треугольник (n=3), квадрат (n=4), правильный пятиугольник (n=5) и правильный шестиугольник (n=6).

Ответ: Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все внутренние углы равны.

Вписанный многоугольник

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. В этом случае окружность называется описанной около многоугольника.

Важные факты о вписанных многоугольниках:

1. Около любого треугольника можно описать окружность. Ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

2. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. То есть, если углы четырехугольника равны $\alpha, \beta, \gamma, \delta$, то должно выполняться $\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ$.

3. Любой правильный многоугольник является вписанным.

Ответ: Вписанный многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Описанный многоугольник

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. В этом случае окружность называется вписанной в многоугольник.

Важные факты об описанных многоугольниках:

1. В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центр находится в точке пересечения биссектрис его углов.

2. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны (теорема Пито). Если длины сторон равны $a, b, c, d$, то должно выполняться равенство $a+c = b+d$.

3. Любой правильный многоугольник является описанным.

Ответ: Описанный многоугольник — это многоугольник, все стороны которого касаются одной окружности.

24. Найдите углы правильного:

а) пятиугольника;

б) шестиугольника;

в) восьмиугольника;

г) двенадцатиугольника.

Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника используется формула, которая выводится из формулы суммы углов выпуклого многоугольника. Сумма углов выпуклого n-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$. Поскольку в правильном многоугольнике все $n$ углов равны, для нахождения одного угла нужно разделить эту сумму на количество углов $n$.

Формула для одного внутреннего угла ($\alpha$) правильного n-угольника:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника.

а) пятиугольника

Для правильного пятиугольника количество сторон $n=5$. Подставим это значение в формулу:

$\alpha = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$

Ответ: $108^\circ$.

б) шестиугольника

Для правильного шестиугольника количество сторон $n=6$. Подставим это значение в формулу:

$\alpha = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

в) восьмиугольника

Для правильного восьмиугольника количество сторон $n=8$. Подставим это значение в формулу:

$\alpha = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ$

Ответ: $135^\circ$.

г) двенадцатиугольника

Для правильного двенадцатиугольника количество сторон $n=12$. Подставим это значение в формулу:

$\alpha = \frac{(12-2) \cdot 180^\circ}{12} = \frac{10 \cdot 180^\circ}{12} = \frac{1800^\circ}{12} = 150^\circ$

Ответ: $150^\circ$.