Страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Противолежащие стороны четырехугольника, описанного около окружности, равны $7$ см и $10$ см. Найдите периметр четырехугольника.

Для решения этой задачи используется свойство описанного четырехугольника, известное как теорема Пито. Согласно этой теореме, если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Пусть стороны четырехугольника последовательно равны $a, b, c, d$. Тогда противолежащими сторонами являются $a$ и $c$, а также $b$ и $d$. По условию, длины одной пары противолежащих сторон равны 7 см и 10 см. Пусть $a = 7$ см и $c = 10$ см.

Согласно теореме Пито, для описанного четырехугольника выполняется равенство:

$a + c = b + d$

Найдем сумму длин известных противолежащих сторон:

$7 + 10 = 17$ см.

Следовательно, сумма длин другой пары противолежащих сторон ($b$ и $d$) также равна 17 см:

$b + d = 17$ см.

Периметр четырехугольника ($P$) равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + b + c + d$

Мы можем сгруппировать слагаемые, чтобы использовать известные нам суммы:

$P = (a + c) + (b + d)$

Подставим значения сумм в формулу периметра:

$P = 17 + 17 = 34$ см.

Ответ: 34 см.

15. Окружность разделена точками на четыре части, градусные величины которых относятся как $3 : 7 : 5 : 3$. Найдите углы четырехугольника, полученного последовательным соединением точек деления.

Пусть окружность разделена точками на четыре дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 7 : 5 : 3$. Сумма градусных мер всех дуг окружности равна $360^\circ$.

Для нахождения градусной меры каждой дуги введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры дуг будут равны $3x$, $7x$, $5x$ и $3x$.

Составим и решим уравнение:$3x + 7x + 5x + 3x = 360^\circ$$18x = 360^\circ$$x = \frac{360^\circ}{18}$$x = 20^\circ$

Теперь найдем градусную меру каждой дуги, последовательно умножая части отношения на найденный коэффициент $x$:

Первая дуга: $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$.

Вторая дуга: $7 \cdot 20^\circ = 140^\circ$.

Третья дуга: $5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$.

Четвертая дуга: $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$.

Четырехугольник, образованный последовательным соединением точек деления, является вписанным в окружность. Углы вписанного четырехугольника равны половине градусной меры дуг, на которые они опираются. Каждый угол опирается на дугу, состоящую из двух соседних дуг из нашего набора.

Найдем первый угол четырехугольника. Он опирается на дугу, состоящую из второй и третьей дуг.

Градусная мера дуги: $140^\circ + 100^\circ = 240^\circ$.

Величина угла: $\frac{1}{2} \cdot 240^\circ = 120^\circ$.

Найдем второй угол четырехугольника. Он опирается на дугу, состоящую из третьей и четвертой дуг.

Градусная мера дуги: $100^\circ + 60^\circ = 160^\circ$.

Величина угла: $\frac{1}{2} \cdot 160^\circ = 80^\circ$.

Найдем третий угол четырехугольника. Он опирается на дугу, состоящую из четвертой и первой дуг.

Градусная мера дуги: $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Величина угла: $\frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Найдем четвертый угол четырехугольника. Он опирается на дугу, состоящую из первой и второй дуг.

Градусная мера дуги: $60^\circ + 140^\circ = 200^\circ$.

Величина угла: $\frac{1}{2} \cdot 200^\circ = 100^\circ$.

Проверка: сумма углов четырехугольника должна быть $360^\circ$.$120^\circ + 80^\circ + 60^\circ + 100^\circ = 360^\circ$.

Ответ: углы четырехугольника равны $120^\circ, 80^\circ, 60^\circ, 100^\circ$.

16. Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен $60^{\circ}$. Найдите радиус описанной окружности.

17. С

16. Пусть дан прямоугольник, меньшая сторона которого равна $a = 5$ см. Пусть диагонали этого прямоугольника пересекаются в точке $O$ под углом $60^\circ$.

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Центр этой окружности находится в точке пересечения диагоналей $O$. Радиус $R$ описанной окружности равен половине диагонали $d$: $R = d/2$.

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и меньшей стороной прямоугольника. Пусть это будет треугольник $\triangle AOB$, где $AB = 5$ см — меньшая сторона, а $AO$ и $BO$ — половины диагоналей.

В этом треугольнике $AO = BO = R$, следовательно, он является равнобедренным.

Углы между диагоналями в точке их пересечения — это два острых и два тупых угла, которые попарно равны и в сумме дают $360^\circ$. Острый угол равен $60^\circ$, а тупой — $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол. Меньшей стороне прямоугольника ($a$) соответствует меньший угол между диагоналями, то есть острый угол. Значит, угол при вершине O в треугольнике $\triangle AOB$ равен $60^\circ$, то есть $\angle AOB = 60^\circ$.

Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник $\triangle AOB$, у которого угол при вершине $\angle AOB = 60^\circ$. Углы при основании этого треугольника равны:$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все углы треугольника $\triangle AOB$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны: $AO = BO = AB$.

Из условия задачи мы знаем, что меньшая сторона $AB = 5$ см. Следовательно, $AO = 5$ см.

Так как радиус описанной окружности $R$ равен длине отрезка $AO$, то $R = 5$ см.

Ответ: $R = 5$ см.

17. Сторона ромба равна 4 см, острый угол — $30^\circ$. Найдите радиус вписанной окружности.

Пусть дан ромб со стороной $a = 4$ см и острым углом $\alpha = 30^\circ$. Необходимо найти радиус вписанной окружности $r$.

Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте ромба $h$. Следовательно, радиус вписанной окружности равен половине высоты:

$r = \frac{h}{2}$

Высоту ромба можно вычислить через его сторону и синус прилежащего угла. Если опустить высоту из одной из вершин тупого угла на противолежащую сторону, образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона ромба $a$ будет гипотенузой, а высота $h$ — катетом, противолежащим острому углу $\alpha$.

Таким образом, высота ромба вычисляется по формуле:

$h = a \cdot \sin(\alpha)$

Подставим в эту формулу известные значения:

$h = 4 \cdot \sin(30^\circ)$

Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

$h = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

Теперь, зная высоту, найдем радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

18. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, изображенный на рисунке 21.6, б.

б)

Рис. 21.6

б)

Радиус вписанной в ромб окружности $r$ равен расстоянию от центра окружности до любой из сторон ромба. Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба.

1. Введем систему координат, приняв вершину A за начало координат $(0, 0)$. Примем длину стороны одной клетки за единицу. Тогда, судя по рисунку, остальные вершины ромба ABCD будут иметь следующие координаты: $B(3, 1)$, $C(4, 4)$ и $D(1, 3)$.

2. Найдем координаты центра $O$ ромба, который является серединой диагонали AC:

$O = \left( \frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2} \right) = \left( \frac{0+4}{2}, \frac{0+4}{2} \right) = (2, 2)$.

3. Найдем уравнение прямой, содержащей одну из сторон ромба, например, сторону AD. Эта прямая проходит через точки $A(0, 0)$ и $D(1, 3)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку $(x_D, y_D)$, имеет вид $y=kx$. Подставив координаты точки D, получим: $3 = k \cdot 1$, откуда угловой коэффициент $k=3$. Таким образом, уравнение прямой AD имеет вид $y=3x$, или в общем виде $3x - y = 0$.

4. Теперь вычислим расстояние от центра $O(2, 2)$ до прямой $3x - y = 0$. Это расстояние и будет искомым радиусом $r$. Воспользуемся формулой расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

$r = \frac{|3 \cdot 2 - 1 \cdot 2 + 0|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 2|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{10}}$.

5. Упростим полученное выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$r = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{4 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$.

Для проверки можно использовать другой метод: через площадь и сторону ромба. Радиус вписанной окружности также можно найти по формуле $r = \frac{h}{2} = \frac{S}{2a}$, где $S$ — площадь ромба, $a$ — его сторона.

Длина стороны $a = AB = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$.

Длины диагоналей: $d_1 = AC = \sqrt{4^2+4^2} = \sqrt{32}$, $d_2 = BD = \sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2} = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$.

Площадь $S = \frac{d_1 d_2}{2} = \frac{\sqrt{32} \cdot \sqrt{8}}{2} = \frac{\sqrt{256}}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Радиус $r = \frac{S}{2a} = \frac{8}{2\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$. Результаты совпадают.

Ответ: $\frac{2\sqrt{10}}{5}$.

19. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной.

Пусть дана трапеция $ABCD$, около которой описана окружность. Это означает, что все четыре вершины трапеции $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на одной окружности. Пусть $AD$ и $BC$ являются основаниями трапеции, следовательно, по определению трапеции, прямые, содержащие основания, параллельны: $AD \parallel BC$. Нам необходимо доказать, что данная трапеция является равнобедренной, то есть что её боковые стороны равны: $AB = CD$.

Для доказательства воспользуемся свойствами окружности. Так как вершины трапеции лежат на окружности, её стороны являются хордами этой окружности. В частности, основания $AD$ и $BC$ являются параллельными хордами.

Согласно известной теореме, дуги окружности, заключенные между двумя параллельными хордами, равны. В нашем случае, между параллельными хордами $AD$ и $BC$ находятся дуги $AB$ и $CD$. Следовательно, их градусные меры равны: $\cup AB = \cup CD$.

Далее, воспользуемся свойством, связывающим дуги и хорды. В одной и той же окружности равные дуги стягиваются равными хордами. Поскольку дуги $AB$ и $CD$ равны, то и хорды, которые их стягивают, также равны. То есть, $AB = CD$.

Мы получили, что боковые стороны трапеции $ABCD$ равны. По определению, трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной (или равнобокой).

Таким образом, мы доказали, что если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

20. Постройте центры окружностей, описанных около четырехугольников, изображенных на рисунке 21.7. Найдите их радиусы, если стороны клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 21.7

а)

Центр окружности, описанной около четырехугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда эти перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Введем систему координат так, чтобы левый нижний угол сетки соответствовал началу координат. Тогда вершины четырехугольника ABCD имеют координаты: $A(1, 1)$, $B(6, 1)$, $C(5, 4)$, $D(2, 4)$.

Этот четырехугольник является трапецией, так как основания $AB$ и $DC$ параллельны (лежат на прямых $y=1$ и $y=4$). Найдем длины боковых сторон:

$AD = \sqrt{(2-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$

$BC = \sqrt{(6-5)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$

Поскольку боковые стороны равны ($AD = BC$), трапеция является равнобедренной. Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность. Центр этой окружности лежит на оси симметрии трапеции, которая является серединным перпендикуляром к ее основаниям.

Середина основания $AB$ — точка с координатами $(\frac{1+6}{2}, \frac{1+1}{2}) = (3.5, 1)$. Серединный перпендикуляр к $AB$ — это вертикальная прямая $x = 3.5$. Это и есть ось симметрии трапеции.

Для нахождения центра окружности найдем серединный перпендикуляр к одной из боковых сторон, например, $AD$.

Середина стороны $AD$ — точка с координатами $(\frac{1+2}{2}, \frac{1+4}{2}) = (1.5, 2.5)$.

Угловой коэффициент прямой $AD$: $k_{AD} = \frac{4-1}{2-1} = 3$.

Угловой коэффициент серединного перпендикуляра к $AD$: $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AD}} = -\frac{1}{3}$.

Уравнение серединного перпендикуляра к $AD$: $y - 2.5 = -\frac{1}{3}(x - 1.5)$.

Центр окружности $O$ — это точка пересечения двух серединных перпендикуляров. Подставим $x = 3.5$ в уравнение перпендикуляра к $AD$:

$y - 2.5 = -\frac{1}{3}(3.5 - 1.5) = -\frac{1}{3} \cdot 2 = -\frac{2}{3}$

$y = 2.5 - \frac{2}{3} = \frac{5}{2} - \frac{2}{3} = \frac{15-4}{6} = \frac{11}{6}$

Таким образом, центр окружности $O$ имеет координаты $(3.5, \frac{11}{6})$.

Теперь найдем радиус $R$ как расстояние от центра $O$ до любой из вершин, например, до $A(1, 1)$:

$R^2 = (x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2 = (1 - 3.5)^2 + (1 - \frac{11}{6})^2 = (-2.5)^2 + (\frac{6-11}{6})^2 = (-\frac{5}{2})^2 + (-\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{36} = \frac{225+25}{36} = \frac{250}{36} = \frac{125}{18}$

$R = \sqrt{\frac{125}{18}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{\sqrt{9 \cdot 2}} = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{10}}{6}$

Ответ: Центр окружности находится в точке с координатами $(3.5, \frac{11}{6})$. Радиус окружности равен $\frac{5\sqrt{10}}{6}$.

б)

Проверим, можно ли описать окружность около данного четырехугольника. Для этого необходимо, чтобы серединные перпендикуляры ко всем его сторонам пересекались в одной точке.

Введем систему координат, поместив вершину $A$ в начало координат $(0, 0)$. Тогда, судя по рисунку, остальные вершины имеют координаты: $D(0, 3)$, $C(2, 4)$, $B(5, 4)$.

Найдем уравнения серединных перпендикуляров для двух сторон.

1. Сторона $AD$ лежит на оси $y$ (от $(0,0)$ до $(0,3)$). Ее середина — точка $(0, 1.5)$. Серединный перпендикуляр к ней — это горизонтальная прямая $y = 1.5$.

2. Сторона $BC$ — это горизонтальный отрезок от $(2,4)$ до $(5,4)$. Ее середина — точка $(\frac{2+5}{2}, \frac{4+4}{2}) = (3.5, 4)$. Серединный перпендикуляр к ней — это вертикальная прямая $x = 3.5$.

Если центр описанной окружности существует, он должен быть точкой пересечения этих двух перпендикуляров, то есть точкой $O(3.5, 1.5)$.

Теперь проверим, равноудалена ли эта точка от всех четырех вершин четырехугольника. Найдем квадраты расстояний от точки $O$ до вершин $A$ и $C$.

Расстояние до вершины $A(0, 0)$:

$OA^2 = (3.5 - 0)^2 + (1.5 - 0)^2 = 12.25 + 2.25 = 14.5$

Расстояние до вершины $C(2, 4)$:

$OC^2 = (3.5 - 2)^2 + (1.5 - 4)^2 = 1.5^2 + (-2.5)^2 = 2.25 + 6.25 = 8.5$

Поскольку $OA^2 \neq OC^2$, точка $O(3.5, 1.5)$ не является равноудаленной от всех вершин. Это означает, что серединные перпендикуляры ко всем сторонам не пересекаются в одной точке, и, следовательно, описать окружность около данного четырехугольника невозможно.

Ответ: Построить описанную окружность для данного четырехугольника невозможно, так как он не является вписанным.

21. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 18 см. Найдите ее среднюю линию.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $c$, а боковые стороны — $b$ и $d$.
Поскольку трапеция описана около окружности, для нее выполняется свойство описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны. Это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$a + c = b + d$
Периметр трапеции $P$ вычисляется как сумма длин всех ее сторон:
$P = a + b + c + d$
Используя свойство описанной трапеции, можно выразить периметр через сумму оснований:
$P = (a + c) + (b + d) = (a + c) + (a + c) = 2(a + c)$
По условию задачи, периметр $P = 18$ см. Подставим это значение в формулу и найдем сумму оснований:
$18 = 2(a + c)$
$a + c = \frac{18}{2} = 9$ см
Средняя линия трапеции, обозначим ее $m$, по определению равна полусумме ее оснований:
$m = \frac{a + c}{2}$
Теперь мы можем вычислить длину средней линии, подставив найденную сумму оснований:
$m = \frac{9}{2} = 4.5$ см
Ответ: 4.5 см.

22. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 1 см и 3 см. Найдите периметр трапеции.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством четырехугольника, описанного около окружности.
Свойство: Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
Пусть у нас есть трапеция, у которой основания равны $a$ и $b$, а боковые стороны равны $c$ и $d$.
Согласно свойству описанного четырехугольника, для нашей трапеции будет справедливо равенство:
$a + b = c + d$
По условию задачи, боковые стороны трапеции равны 1 см и 3 см. То есть:
$c = 1$ см
$d = 3$ см
Найдем сумму боковых сторон:
$c + d = 1 + 3 = 4$ см
Следовательно, сумма оснований трапеции также равна 4 см:
$a + b = 4$ см
Периметр трапеции ($P$) — это сумма длин всех ее сторон:
$P = a + b + c + d$
Мы можем сгруппировать слагаемые следующим образом:
$P = (a + b) + (c + d)$
Подставим известные значения сумм сторон:
$P = 4 + 4 = 8$ см
Ответ: 8 см.