Номер 18, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, изображенный на рисунке 21.6, б.

б)

Рис. 21.6

б)

Радиус вписанной в ромб окружности $r$ равен расстоянию от центра окружности до любой из сторон ромба. Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба.

1. Введем систему координат, приняв вершину A за начало координат $(0, 0)$. Примем длину стороны одной клетки за единицу. Тогда, судя по рисунку, остальные вершины ромба ABCD будут иметь следующие координаты: $B(3, 1)$, $C(4, 4)$ и $D(1, 3)$.

2. Найдем координаты центра $O$ ромба, который является серединой диагонали AC:

$O = \left( \frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2} \right) = \left( \frac{0+4}{2}, \frac{0+4}{2} \right) = (2, 2)$.

3. Найдем уравнение прямой, содержащей одну из сторон ромба, например, сторону AD. Эта прямая проходит через точки $A(0, 0)$ и $D(1, 3)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку $(x_D, y_D)$, имеет вид $y=kx$. Подставив координаты точки D, получим: $3 = k \cdot 1$, откуда угловой коэффициент $k=3$. Таким образом, уравнение прямой AD имеет вид $y=3x$, или в общем виде $3x - y = 0$.

4. Теперь вычислим расстояние от центра $O(2, 2)$ до прямой $3x - y = 0$. Это расстояние и будет искомым радиусом $r$. Воспользуемся формулой расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

$r = \frac{|3 \cdot 2 - 1 \cdot 2 + 0|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 2|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{10}}$.

5. Упростим полученное выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$r = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{4 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$.

Для проверки можно использовать другой метод: через площадь и сторону ромба. Радиус вписанной окружности также можно найти по формуле $r = \frac{h}{2} = \frac{S}{2a}$, где $S$ — площадь ромба, $a$ — его сторона.

Длина стороны $a = AB = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$.

Длины диагоналей: $d_1 = AC = \sqrt{4^2+4^2} = \sqrt{32}$, $d_2 = BD = \sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2} = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$.

Площадь $S = \frac{d_1 d_2}{2} = \frac{\sqrt{32} \cdot \sqrt{8}}{2} = \frac{\sqrt{256}}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Радиус $r = \frac{S}{2a} = \frac{8}{2\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$. Результаты совпадают.

Ответ: $\frac{2\sqrt{10}}{5}$.