Номер 15, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Окружность разделена точками на четыре части, градусные величины которых относятся как $3 : 7 : 5 : 3$. Найдите углы четырехугольника, полученного последовательным соединением точек деления.

Пусть окружность разделена точками на четыре дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 7 : 5 : 3$. Сумма градусных мер всех дуг окружности равна $360^\circ$.

Для нахождения градусной меры каждой дуги введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры дуг будут равны $3x$, $7x$, $5x$ и $3x$.

Составим и решим уравнение:$3x + 7x + 5x + 3x = 360^\circ$$18x = 360^\circ$$x = \frac{360^\circ}{18}$$x = 20^\circ$

Теперь найдем градусную меру каждой дуги, последовательно умножая части отношения на найденный коэффициент $x$:

Первая дуга: $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$.

Вторая дуга: $7 \cdot 20^\circ = 140^\circ$.

Третья дуга: $5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$.

Четвертая дуга: $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$.

Четырехугольник, образованный последовательным соединением точек деления, является вписанным в окружность. Углы вписанного четырехугольника равны половине градусной меры дуг, на которые они опираются. Каждый угол опирается на дугу, состоящую из двух соседних дуг из нашего набора.

Найдем первый угол четырехугольника. Он опирается на дугу, состоящую из второй и третьей дуг.

Градусная мера дуги: $140^\circ + 100^\circ = 240^\circ$.

Величина угла: $\frac{1}{2} \cdot 240^\circ = 120^\circ$.

Найдем второй угол четырехугольника. Он опирается на дугу, состоящую из третьей и четвертой дуг.

Градусная мера дуги: $100^\circ + 60^\circ = 160^\circ$.

Величина угла: $\frac{1}{2} \cdot 160^\circ = 80^\circ$.

Найдем третий угол четырехугольника. Он опирается на дугу, состоящую из четвертой и первой дуг.

Градусная мера дуги: $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Величина угла: $\frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Найдем четвертый угол четырехугольника. Он опирается на дугу, состоящую из первой и второй дуг.

Градусная мера дуги: $60^\circ + 140^\circ = 200^\circ$.

Величина угла: $\frac{1}{2} \cdot 200^\circ = 100^\circ$.

Проверка: сумма углов четырехугольника должна быть $360^\circ$.$120^\circ + 80^\circ + 60^\circ + 100^\circ = 360^\circ$.

Ответ: углы четырехугольника равны $120^\circ, 80^\circ, 60^\circ, 100^\circ$.