Номер 5, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, если его основание стягивает дугу в $100^\circ$.

Пусть в окружность вписан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию задачи, основание $AC$ стягивает дугу в $100°$.

Хорда $AC$ делит окружность на две дуги: меньшую, градусная мера которой равна $100°$, и большую, с градусной мерой $360° - 100° = 260°$. Вершина $B$, противолежащая основанию, может находиться на любой из этих дуг. Следовательно, задача имеет два возможных решения.

Случай 1. Вершина $B$ находится на большей дуге.

В этом случае вписанный угол $\angle B$ опирается на меньшую дугу $AC$. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

$\angle B = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50°$

Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Сумма всех углов треугольника равна $180°$.

$\angle A + \angle C + \angle B = 180°$

$2\angle A + 50° = 180°$

$2\angle A = 130°$

$\angle A = \angle C = 65°$

Таким образом, углы треугольника равны $50°, 65°, 65°$.

Случай 2. Вершина $B$ находится на меньшей дуге.

В этом случае вписанный угол $\angle B$ опирается на большую дугу $AC$.

$\angle B = \frac{1}{2} \cdot 260° = 130°$

Аналогично первому случаю, находим углы при основании.

$\angle A + \angle C + \angle B = 180°$

$2\angle A + 130° = 180°$

$2\angle A = 50°$

$\angle A = \angle C = 25°$

Таким образом, углы треугольника равны $130°, 25°, 25°$.

Ответ: $50°, 65°, 65°$ или $130°, 25°, 25°$.