Вопросы, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какой треугольник называется вписанным в окружность?

2. Какая окружность называется описанной около треугольника?

3. Около всякого ли треугольника можно описать окружность?

4. Где находится центр описанной около треугольника окружности?

5. Как выражается радиус окружности, описанной около треугольника, через его стороны и площадь?

6. Как выражается радиус окружности, вписанной в треугольник, через его периметр и площадь?

7. Какая окружность называется вневписанной в треугольник?

8. Что является центром окружности, вневписанной в треугольник?

1. Какой треугольник называется вписанным в окружность?

Треугольник называется вписанным в окружность, если все три его вершины лежат на этой окружности. Иначе говоря, окружность проходит через все вершины треугольника. Такую окружность называют описанной около треугольника.

Ответ: Треугольник, все вершины которого лежат на окружности.

2. Какая окружность называется описанной около треугольника?

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все три вершины этого треугольника. Для любого треугольника существует только одна описанная окружность.

Ответ: Окружность, которая проходит через все три вершины треугольника.

3. Около всякого ли треугольника можно описать окружность?

Да, около любого треугольника можно описать окружность, причём только одну. Это следует из того, что серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника всегда пересекаются в одной точке, которая и является центром описанной окружности. Эта точка равноудалена от всех трёх вершин треугольника.

Ответ: Да, около всякого треугольника можно описать окружность.

4. Где находится центр описанной около треугольника окружности?

Центр описанной около треугольника окружности (называемый также циркумцентром) находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Положение этого центра зависит от вида треугольника:

• в остроугольном треугольнике — внутри треугольника;
• в прямоугольном треугольнике — на середине гипотенузы;
• в тупоугольном треугольнике — вне треугольника.

Ответ: Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

5. Как выражается радиус окружности, описанной около треугольника, через его стороны и площадь?

Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, можно найти по формуле, связывающей его со сторонами треугольника $a, b, c$ и его площадью $S$. Эта формула является следствием из обобщенной теоремы синусов и формулы площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. Формула для радиуса выглядит так:

$R = \frac{abc}{4S}$

Ответ: Радиус описанной окружности $R$ выражается формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – длины сторон треугольника, а $S$ – его площадь.

6. Как выражается радиус окружности, вписанной в треугольник, через его периметр и площадь?

Радиус $r$ вписанной в треугольник окружности выражается через его площадь $S$ и полупериметр $p$. Полупериметр $p$ — это половина периметра, т.е. $p = \frac{a+b+c}{2}$. Площадь треугольника можно представить как сумму площадей трех треугольников, образованных сторонами исходного треугольника и отрезками, соединяющими центр вписанной окружности с вершинами. Высота каждого из этих треугольников равна радиусу $r$. Таким образом, $S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = r \cdot \frac{a+b+c}{2} = r \cdot p$. Отсюда получаем формулу:

$r = \frac{S}{p}$

Ответ: Радиус вписанной окружности $r$ выражается формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

7. Какая окружность называется вневписанной в треугольник?

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, которая касается одной из его сторон, а также продолжений двух других сторон. У каждого треугольника есть три вневписанные окружности, по одной для каждой стороны.

Ответ: Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.

8. Что является центром окружности, вневписанной в треугольник?

Центр вневписанной окружности (называемый также эксцентром) — это точка пересечения биссектрисы одного внутреннего угла треугольника и биссектрис двух внешних углов, не смежных с данным внутренним углом. Так как у треугольника три внутренних угла, то существует и три центра вневписанных окружностей. Каждый такой центр равноудалён от одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Ответ: Центром вневписанной окружности является точка пересечения биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис двух внешних углов треугольника.