Номер 14, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. На рисунке 19.11 прямая касается двух окружностей с центрами $O_1, O_2$ и радиусами 4 и 10 соответственно, $A_1, A_2$ — точки касания, $AA_1 = 3$. Найдите $AA_2$.

Рис. 19.11

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно. Из условия задачи известно, что $r_1 = 4$, $r_2 = 10$. Прямая, проходящая через точки $A_1$ и $A_2$, является общей касательной к этим окружностям.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $O_1A_1 \perp A_1A_2$ и $O_2A_2 \perp A_1A_2$. Отсюда следует, что прямые $O_1A_1$ и $O_2A_2$ параллельны.

Рассмотрим треугольники $\triangle AO_1A_1$ и $\triangle AO_2A_2$. Точка $A$ является точкой пересечения линии центров $O_1O_2$ и общей касательной $A_1A_2$.

Эти треугольники подобны, так как:
1. $\angle A$ — общий для обоих треугольников.
2. $\angle AA_1O_1 = \angle AA_2O_2 = 90^\circ$ — так как это углы между касательной и радиусами.
Таким образом, $\triangle AO_1A_1 \sim \triangle AO_2A_2$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Запишем пропорцию для катетов:
$\frac{AA_1}{AA_2} = \frac{O_1A_1}{O_2A_2}$

Длины катетов $O_1A_1$ и $O_2A_2$ равны радиусам соответствующих окружностей, то есть $O_1A_1 = r_1 = 4$ и $O_2A_2 = r_2 = 10$. Длина отрезка $AA_1$ дана в условии и равна 3. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{3}{AA_2} = \frac{4}{10}$

Выразим $AA_2$:
$AA_2 = \frac{3 \times 10}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$

Ответ: 7.5