Номер 7, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Радиус $OA$ окружности равен 8. Через его середину $E$ проведена хорда $CD$ (рис. 19.5), $CE = 4,8$. Найдите $DE$.

Рис. 19.5

Для решения задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности. Теорема о пересекающихся хордах гласит, что если две хорды окружности пересекаются в одной точке, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

В данном случае у нас есть хорда CD. Радиус OA не является хордой, но он лежит на диаметре. Проведем диаметр через точки O и A, пусть его концы на окружности будут точки A и B (где B находится на окружности с противоположной стороны от A). Таким образом, у нас есть две пересекающиеся в точке E хорды: CD и AB.

Согласно теореме, мы можем записать равенство:

$AE \cdot EB = CE \cdot DE$

Найдем длины отрезков AE и EB.

По условию задачи, радиус $OA = 8$. Точка E является серединой радиуса OA, следовательно:

$AE = \frac{OA}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Теперь найдем длину отрезка EB. Отрезок EB состоит из отрезка OE и радиуса OB. Так как E — середина OA, то $OE = AE = 4$. Радиус $OB$ равен радиусу $OA$, то есть $OB = 8$.

Таким образом, длина отрезка EB равна:

$EB = OE + OB = 4 + 8 = 12$

Теперь у нас есть все данные для использования формулы. Длина отрезка CE дана в условии: $CE = 4,8$. Подставим известные значения в равенство:

$4 \cdot 12 = 4,8 \cdot DE$

$48 = 4,8 \cdot DE$

Выразим DE из этого уравнения:

$DE = \frac{48}{4,8}$

$DE = \frac{480}{48}$

$DE = 10$

Ответ: 10.