Номер 10, страница 114 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Радиус окружности равен 11 см. Точка E удалена от центра окружности на 7 см. Через точку E проведена хорда CD, равная 18 см. Найдите отрезки, на которые точка E делит хорду CD (рис. 19.7).

Рис. 19.7

Для решения задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности. Согласно этому свойству, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Проведем через точку E и центр окружности O диаметр, назовем его AB. Точка E лежит на этом диаметре. Длина диаметра равна двум радиусам: $AB = 2R = 2 \times 11 = 22$ см.

Точка E делит диаметр AB на два отрезка, AE и EB. Найдем их длины. Расстояние от центра O до точки E известно: $OE = 7$ см. Радиус окружности $OA = OB = R = 11$ см.

Длина одного отрезка диаметра будет равна разности радиуса и расстояния OE, а другого — их сумме:

$AE = R - OE = 11 - 7 = 4$ см.

$EB = R + OE = 11 + 7 = 18$ см.

Проверим: $AE + EB = 4 + 18 = 22$ см, что равно длине диаметра.

Теперь у нас есть две пересекающиеся в точке E хорды: CD и AB. По свойству пересекающихся хорд:

$CE \times ED = AE \times EB$

Подставим найденные значения длин отрезков AE и EB:

$CE \times ED = 4 \times 18 = 72$

Также из условия задачи мы знаем, что длина хорды CD равна 18 см, следовательно:

$CE + ED = 18$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} CE + ED = 18 \\ CE \times ED = 72 \end{cases}$

Эту систему можно решить, составив квадратное уравнение, где CE и ED будут его корнями (согласно теореме Виета). Пусть $x$ — длина одного из отрезков, тогда уравнение будет иметь вид:

$x^2 - 18x + 72 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \times 1 \times 72 = 324 - 288 = 36$

$\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - 6}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, длины отрезков, на которые точка E делит хорду CD, равны 6 см и 12 см.

Ответ: 6 см и 12 см.