Номер 9, страница 114 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Радиус окружности равен 4 см. На продолжении радиуса взята точка $E$, отстоящая от центра $O$ окружности на расстояние 8 см. Через точку $E$ проведен луч, пересекающий окружность в точках $B$ и $C$ (рис. 19.6). $BE = 10$. Найдите $CE$.

Рис. 19.6

Для решения этой задачи воспользуемся свойством секущих, проведенных к окружности из одной точки. Теорема о секущих гласит, что если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение длины одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на ее внешнюю часть.

В нашем случае из точки E, расположенной вне окружности, проведены две секущие:

1. Секущая, пересекающая окружность в точках B и C.

2. Секущая, проходящая через центр окружности O. Обозначим точки ее пересечения с окружностью как A (ближайшая к E) и D (самая дальняя от E).

Согласно теореме о секущих, должно выполняться равенство: $CE \cdot BE = EA \cdot ED$.

По условию задачи нам известны следующие данные:

Радиус окружности $r = 4$ см. Отсюда $OA = OD = 4$ см.

Расстояние от центра O до точки E: $OE = 8$ см.

Длина отрезка $BE = 10$ см.

Теперь найдем длины отрезков $EA$ и $ED$ для секущей, проходящей через центр.

Длина внешней части этой секущей, отрезок $EA$, равна разности расстояния $OE$ и радиуса $OA$:

$EA = OE - OA = 8 - 4 = 4$ см.

Полная длина этой секущей, отрезок $ED$, равна сумме расстояния $OE$ и радиуса $OD$:

$ED = OE + OD = 8 + 4 = 12$ см.

Теперь подставим все известные значения в формулу теоремы о секущих:

$CE \cdot BE = EA \cdot ED$

$CE \cdot 10 = 4 \cdot 12$

Выполним вычисления:

$10 \cdot CE = 48$

Из этого уравнения находим искомую длину отрезка $CE$:

$CE = \frac{48}{10} = 4.8$ см.

Ответ: 4,8 см.