Номер 12, страница 114 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. На рисунке 19.9 две окружности с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами 10 и 4 касаются внешним образом в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, пересекает окружности в точках $B$ и $C$, $AC = 15$. Найдите $AB$.

Рис. 19.9

Пусть окружность с центром $O_1$ имеет радиус $R_1 = 10$, а окружность с центром $O_2$ — радиус $R_2 = 4$. Прямая, проходящая через точку касания $A$ и пересекающая окружности в точках $B$ и $C$, является секущей для обеих окружностей.

Рассмотрим треугольники $\triangle AO_1C$ и $\triangle AO_2B$.

1. Точка касания $A$ лежит на линии, соединяющей центры окружностей $O_1$ и $O_2$. Следовательно, точки $O_1$, $A$ и $O_2$ лежат на одной прямой.

2. В треугольнике $\triangle AO_1C$ стороны $O_1A$ и $O_1C$ являются радиусами большей окружности, поэтому $O_1A = O_1C = R_1 = 10$. Это означает, что треугольник $\triangle AO_1C$ — равнобедренный, и его углы при основании равны: $\angle O_1AC = \angle O_1CA$.

3. Аналогично, в треугольнике $\triangle AO_2B$ стороны $O_2A$ и $O_2B$ являются радиусами меньшей окружности, поэтому $O_2A = O_2B = R_2 = 4$. Это означает, что треугольник $\triangle AO_2B$ — равнобедренный, и его углы при основании равны: $\angle O_2AB = \angle O_2BA$.

4. Углы $\angle O_1AC$ и $\angle O_2AB$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $BC$ и $O_1O_2$ в точке $A$. Следовательно, $\angle O_1AC = \angle O_2AB$.

5. Из пунктов 2, 3 и 4 следует, что $\angle O_1CA = \angle O_1AC = \angle O_2AB = \angle O_2BA$. Таким образом, у треугольников $\triangle AO_1C$ и $\triangle AO_2B$ есть две пары равных углов: $\angle O_1AC = \angle O_2AB$ и $\angle O_1CA = \angle O_2BA$.

6. По первому признаку подобия (по двум углам) треугольники $\triangle AO_1C$ и $\triangle AO_2B$ подобны.

7. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{AB}{AC} = \frac{O_2A}{O_1A} = \frac{R_2}{R_1} $

Подставим известные значения: $AC = 15$, $R_1 = 10$, $R_2 = 4$. $ \frac{AB}{15} = \frac{4}{10} $

Теперь найдем $AB$: $ AB = 15 \cdot \frac{4}{10} = 15 \cdot \frac{2}{5} = 3 \cdot 2 = 6 $

Ответ: 6.