Номер 15, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Две окружности пересекаются в точках A и B. Прямая касается этих окружностей в точках C и D. Докажите, что прямая AB пересекает отрезок CD в его середине E (рис. 19.12).

Рис. 19.12

Рассмотрим точку E, которая является точкой пересечения прямой AB и прямой CD. Нам необходимо доказать, что E — середина отрезка CD, то есть $CE = ED$.

Точка E лежит на прямой CD, которая является касательной к первой окружности (с центром $O_1$) в точке C. Также точка E лежит на прямой AB, которая является секущей для этой же окружности, пересекая её в точках A и B.

По теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от этой точки до точек пересечения с окружностью. Для первой окружности и точки E имеем:

$EC^2 = EA \cdot EB$

Теперь рассмотрим точку E и вторую окружность (с центром $O_2$). Прямая CD является касательной ко второй окружности в точке D, а прямая AB — секущей, пересекающей её в тех же точках A и B.

Применяя ту же теорему для второй окружности, получаем аналогичное соотношение:

$ED^2 = EA \cdot EB$

Сравнивая два полученных равенства, мы видим, что их правые части равны. Следовательно, должны быть равны и левые части:

$EC^2 = ED^2$

Поскольку длины отрезков EC и ED являются положительными величинами, из равенства их квадратов следует равенство самих длин:

$EC = ED$

Таким образом, точка E делит отрезок CD пополам, то есть является его серединой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: прямая AB пересекает отрезок CD в его середине E, так как $EC=ED$.