Проверь себя!, страница 116 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. В треугольнике $ABC AB = 3, \angle A = 45^\circ, \angle C = 60^\circ$. Найдите сторону $BC$:
A) $\sqrt{6}$ B) $\sqrt{3}$ C) $2\sqrt{3}$ D) $2\sqrt{2}$

2. В треугольнике $ABC$ даны две стороны $BC = 2, AC = 2\sqrt{2}$ и $\angle A$, равный $45^\circ$. Найдите угол $B$:
A) $30^\circ$ B) $45^\circ$ C) $60^\circ$ D) $90^\circ$

3. Найдите отношения сторон $AC:BC$ в треугольнике $ABC$, в котором $\angle A = 120^\circ, \angle B = 30^\circ$:
A) $\sqrt{3} : 1$ B) $1 : \sqrt{3}$ C) $2 : \sqrt{3}$ D) $3 : \sqrt{3}$

4. В треугольнике $ABC AB = 4, BC = 3, AC = 5$. Найдите отрезки, на которые биссектриса $CD$ этого треугольника делит его сторону $AB$:
A) $AD = 3, DB = 1$ B) $AD = 2, DB = 2$
C) $AD = 2,5, DB = 1,5$ D) $AD = 1,5, DB = 2,5$

5. В треугольнике $ABC AB = 3, AC = 2, \angle A = 60^\circ$. Найдите третью сторону:
A) $\sqrt{7}$ B) $\sqrt{6}$ C) $\sqrt{5}$ D) $\sqrt{3}$

6. В треугольнике $ABC AC = BC = 1, AB = \sqrt{3}$. Найдите угол $C$:
A) $30^\circ$ B) $60^\circ$ C) $120^\circ$ D) $150^\circ$

7. Стороны треугольника равны $3, 4$ и $5$. Найдите медиану, проведенную к большей стороне:
A) $2$ B) $2,5$ C) $3$ D) $3,5$

8. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $\frac{2}{5}$ окружности:
A) $54^\circ$ B) $60^\circ$ C) $66^\circ$ D) $72^\circ$

9. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $30\%$ окружности:
A) $54^\circ$ B) $60^\circ$ C) $66^\circ$ D) $72^\circ$

10. Дуги $\stackrel{\frown}{AC}$ и $\stackrel{\frown}{BC}$ окружности составляют соответственно $200^\circ$ и $100^\circ$. Найдите вписанный угол $\angle ACB$:
A) $30^\circ$ B) $40^\circ$ C) $50^\circ$ D) $60^\circ$

11. Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как $2:3$. Под какими углами видна эта хорда из точек окружности:
A) $45^\circ$ и $135^\circ$ B) $60^\circ$ и $120^\circ$
C) $72^\circ$ и $108^\circ$ D) $80^\circ$ и $100^\circ$?

12. Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $100^\circ$. Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку $B$:
A) $20^\circ$ B) $30^\circ$ C) $40^\circ$ D) $50^\circ$

13. Дуги $\stackrel{\frown}{AB}$ и $\stackrel{\frown}{CD}$ окружности составляют соответственно $90^\circ$ и $60^\circ$. Найдите угол, образованный пересекающимися хордами $AC$ и $BD$:
A) $30^\circ$ B) $45^\circ$ C) $60^\circ$ D) $75^\circ$

14. Найдите угол $ACD$, если его сторона $CA$ касается окружности в точке $A$, сторона $CB$ проходит через центр окружности, а дуга $AB$ окружности, заключенная внутри этого угла, равна $120^\circ$:
A) $30^\circ$ B) $45^\circ$ C) $60^\circ$ D) $120^\circ$

15. Радиус окружности равен $6$. Через его середину $C$ проведена хорда $AB$. Найдите произведение отрезков $AC$ и $BC$:
A) $24$ B) $27$ C) $32$ D) $36$

16. Радиус окружности равен $1$ см. На продолжении радиуса взята точка $C$, отстоящая от центра окружности на расстояние $3$ см. Через точку $C$ проведен луч, пересекающий окружность в точках $A$ и $B$. Найдите произведение отрезков $AC$ и $BC$:
A) $4$ B) $6$ C) $8$ D) $12$

17. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $E, AE = 2, DE = 4, CE = 3$. Найдите $BE$:
A) $4$ B) $6$ C) $8$ D) $12$

18. Радиус окружности равен $3$ см. Отрезок касательной, проведенной из точки к этой окружности, равен $4$ см. Найдите расстояние от этой точки до центра данной окружности:
A) $4$ см B) $5$ см C) $6$ см D) $7$ см

19. Радиус окружности равен $5$ см. Точка удалена от центра окружности на расстояние $13$ см. Найдите отрезок касательной, проведенной из этой точки к данной окружности:
A) $6$ см B) $8$ см C) $10$ см D) $12$ см

20. Через точку $C$, лежащую вне окружности, проведены два луча, один из которых касается окружности в точке $D$, а другой пересекает окружность в точках $A$ и $B$. Найдите отрезок $CD$ касательной, если $CA = 3, CB = 12$:
A) $6$ B) $8$ C) $9$ D) $12$

1. Для решения задачи используем теорему синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон и углов данного треугольника: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $. В нашем случае, нам нужно найти сторону BC (обозначим ее как $a$) напротив угла $A$, зная сторону AB (обозначим ее как $c$) и противолежащий ей угол $C$.
Дано: $c = AB = 3$, $ \angle A = 45^\circ $, $ \angle C = 60^\circ $.
Применяем теорему синусов: $ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} $.
$ \frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{3}{\sin 60^\circ} $.
Отсюда выражаем BC: $ BC = 3 \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} $.
Подставляем значения синусов: $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ BC = 3 \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ BC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6} $.
Ответ: A) $ \sqrt{6} $

2. Используем теорему синусов: $ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} $.
Дано: $BC = 2$, $AC = 2\sqrt{2}$, $ \angle A = 45^\circ $.
Подставляем известные значения в формулу:
$ \frac{2}{\sin 45^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin B} $.
Выразим $ \sin B $: $ \sin B = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{2} $.
Зная, что $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ \sin B = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 \cdot \frac{2}{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1 $.
Если $ \sin B = 1 $, то угол $B$ в треугольнике может быть только $ 90^\circ $.
Ответ: D) $ 90^\circ $

3. Для нахождения отношения сторон AC к BC (то есть $b$ к $a$) воспользуемся теоремой синусов: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $.
Из этой пропорции можно выразить отношение $ \frac{b}{a} $: $ \frac{b}{a} = \frac{\sin B}{\sin A} $.
Дано: $ \angle A = 120^\circ $, $ \angle B = 30^\circ $.
Подставляем значения углов:
$ \frac{AC}{BC} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 120^\circ} $.
Вычисляем значения синусов: $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, $ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \frac{AC}{BC} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Таким образом, отношение $ AC : BC $ равно $ 1 : \sqrt{3} $.
Ответ: B) $ 1 : \sqrt{3} $

4. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы CD из угла C это свойство записывается как: $ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} $.
Дано: $AC = 5$, $BC = 3$, $AB = 4$.
Подставляем значения: $ \frac{AD}{DB} = \frac{5}{3} $.
Также мы знаем, что точка D лежит на стороне AB, поэтому $AD + DB = AB = 4$.
Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} AD = \frac{5}{3}DB \\ AD + DB = 4 \end{cases} $
Подставим первое уравнение во второе: $ \frac{5}{3}DB + DB = 4 $.
$ \frac{8}{3}DB = 4 $.
$ DB = 4 \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = 1,5 $.
Теперь найдем AD: $ AD = 4 - DB = 4 - 1,5 = 2,5 $.
Ответ: C) AD = 2,5, DB = 1,5

5. Для нахождения третьей стороны треугольника (BC), зная две другие стороны (AB и AC) и угол между ними ($ \angle A $), используем теорему косинусов: $ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A $.
Дано: $AB = 3$, $AC = 2$, $ \angle A = 60^\circ $.
Подставляем значения в формулу:
$ BC^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ $.
Зная, что $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:
$ BC^2 = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7 $.
$ BC = \sqrt{7} $.
Ответ: A) $ \sqrt{7} $

6. Для нахождения угла C, зная все три стороны треугольника, используем теорему косинусов в форме для нахождения угла: $ \cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} $.
Дано: $AC = 1$, $BC = 1$, $AB = \sqrt{3}$.
Подставляем значения:
$ \cos C = \frac{1^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2}{2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{1 + 1 - 3}{2} = \frac{-1}{2} $.
Угол в треугольнике, косинус которого равен $ -\frac{1}{2} $, это $ 120^\circ $.
Ответ: C) $ 120^\circ $

7. Даны стороны треугольника 3, 4 и 5. Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему Пифагора: $ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $. $ 5^2 = 25 $. Так как $ 3^2 + 4^2 = 5^2 $, треугольник является прямоугольным, а сторона длиной 5 — его гипотенуза.
Медиана, проведенная к большей стороне, является медианой к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ее длина равна половине длины гипотенузы.
Длина медианы = $ \frac{5}{2} = 2,5 $.
Ответ: B) 2,5

8. Градусная мера всей окружности составляет $ 360^\circ $. Дуга составляет $ \frac{2}{5} $ окружности, ее градусная мера равна $ \frac{2}{5} \cdot 360^\circ = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ $.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Величина вписанного угла = $ \frac{1}{2} \cdot 144^\circ = 72^\circ $.
Ответ: D) $ 72^\circ $

9. Градусная мера всей окружности составляет $ 360^\circ $. Дуга составляет 30% окружности, то есть $ 0,3 $. Ее градусная мера равна $ 0,3 \cdot 360^\circ = 108^\circ $.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Величина вписанного угла = $ \frac{1}{2} \cdot 108^\circ = 54^\circ $.
Ответ: A) $ 54^\circ $

10. Вписанный угол $ \angle ACB $ опирается на дугу AB. Градусная мера всей окружности равна $ 360^\circ $. Дуга AB равна разности между всей окружностью и суммами дуг AC и BC.
Градусная мера дуги AB = $ 360^\circ - (\text{дуга AC} + \text{дуга BC}) = 360^\circ - (200^\circ + 100^\circ) = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ $.
Вписанный угол $ \angle ACB $ равен половине дуги AB, на которую он опирается.
$ \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ $.
Ответ: A) $ 30^\circ $

11. Пусть градусные меры двух дуг, на которые хорда делит окружность, равны $2x$ и $3x$. Сумма этих дуг равна полной окружности.
$ 2x + 3x = 360^\circ $.
$ 5x = 360^\circ $.
$ x = 72^\circ $.
Градусные меры дуг равны $ 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ $ (меньшая дуга) и $ 3 \cdot 72^\circ = 216^\circ $ (большая дуга).
Угол, под которым видна хорда из точки на большей дуге, опирается на меньшую дугу и равен ее половине: $ \frac{1}{2} \cdot 144^\circ = 72^\circ $.
Угол, под которым видна хорда из точки на меньшей дуге, опирается на большую дугу и равен ее половине: $ \frac{1}{2} \cdot 216^\circ = 108^\circ $.
Ответ: C) $ 72^\circ $ и $ 108^\circ $

12. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между ними.
Дано, что хорда AB стягивает дугу в $ 100^\circ $.
Следовательно, угол между хордой AB и касательной, проведенной через точку B, равен $ \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ $.
Ответ: D) $ 50^\circ $

13. Угол, образованный двумя пересекающимися хордами, равен полусумме дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.
В данном случае, хорды AC и BD пересекаются. Угол их пересечения измеряется полусуммой дуг AB и CD.
Угол = $ \frac{1}{2} (\text{дуга AB} + \text{дуга CD}) = \frac{1}{2} (90^\circ + 60^\circ) = \frac{1}{2} (150^\circ) = 75^\circ $.
Ответ: D) $ 75^\circ $

14. Пусть O — центр окружности. Так как сторона CA касается окружности в точке A, то радиус OA перпендикулярен касательной CA, то есть $ \angle OAC = 90^\circ $.
Сторона CB проходит через центр O, значит точки C, O, B лежат на одной прямой.
Градусная мера дуги AB равна $ 120^\circ $, следовательно, центральный угол $ \angle AOB = 120^\circ $.
Углы $ \angle AOC $ и $ \angle AOB $ — смежные, так как C, O, B лежат на одной прямой. Их сумма равна $ 180^\circ $.
$ \angle AOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OAC. Сумма его острых углов равна $ 90^\circ $.
$ \angle ACO + \angle AOC = 90^\circ $.
Искомый угол $ \angle ACD $ (или $ \angle ACO $) равен $ 90^\circ - \angle AOC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $.
Ответ: A) $ 30^\circ $

15. По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Рассмотрим хорду AB и диаметр, проходящий через точку C.
Точка C — середина радиуса, длина которого 6. Пусть O — центр окружности. Тогда расстояние OC = 3.
Проведем через C диаметр MN. Длина диаметра 12. Точка C делит его на отрезки $ MC = R + OC = 6 + 3 = 9 $ и $ CN = R - OC = 6 - 3 = 3 $.
По теореме о пересекающихся хордах: $ AC \cdot BC = MC \cdot CN $.
$ AC \cdot BC = 9 \cdot 3 = 27 $.
Этот же результат получается из теоремы о степени точки C относительно окружности: $ P(C) = R^2 - d^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27 $.
Ответ: B) 27

16. Произведение отрезков секущей, проведенной из точки к окружности, является величиной постоянной и называется степенью точки относительно окружности. Для точки C, лежащей вне окружности, и секущей, пересекающей окружность в точках A и B, эта величина равна $ CA \cdot CB $.
Степень точки C также можно вычислить по формуле $ P(C) = d^2 - R^2 $, где $d$ — расстояние от точки до центра, а $R$ — радиус окружности.
Дано: $R = 1$ см, $d = OC = 3$ см.
$ P(C) = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8 $.
Следовательно, произведение отрезков $ AC \cdot BC = 8 $.
Ответ: C) 8

17. По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит другую хорду.
Для хорд AB и CD, пересекающихся в точке E, справедливо равенство: $ AE \cdot EB = CE \cdot ED $.
Дано: $AE = 2$, $DE = 4$, $CE = 3$.
Подставляем значения: $ 2 \cdot BE = 3 \cdot 4 $.
$ 2 \cdot BE = 12 $.
$ BE = \frac{12}{2} = 6 $.
Ответ: B) 6

18. Пусть O — центр окружности, P — точка, из которой проведена касательная, а T — точка касания. Отрезок OP — это искомое расстояние от точки до центра, OT — радиус, PT — отрезок касательной.
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник OTP — прямоугольный с прямым углом T.
Дано: $OT = R = 3$ см, $PT = 4$ см.
По теореме Пифагора, $ OP^2 = OT^2 + PT^2 $.
$ OP^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $.
$ OP = \sqrt{25} = 5 $ см.
Ответ: B) 5 см

19. Аналогично предыдущей задаче, рассмотрим прямоугольный треугольник OTP, где O — центр, P — точка вне окружности, T — точка касания.
Дано: $OT = R = 5$ см, расстояние от точки до центра $OP = 13$ см. OP является гипотенузой.
Искомый отрезок касательной — это катет PT.
По теореме Пифагора: $ PT^2 = OP^2 - OT^2 $.
$ PT^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 $.
$ PT = \sqrt{144} = 12 $ см.
Ответ: D) 12 см

20. По теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длин отрезков секущей от этой точки до точек ее пересечения с окружностью.
$ CD^2 = CA \cdot CB $.
Дано: $CA = 3$, $CB = 12$.
Подставляем значения: $ CD^2 = 3 \cdot 12 = 36 $.
$ CD = \sqrt{36} = 6 $.
Ответ: A) 6