Номер 13, страница 114 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. На рисунке 19.10 прямая касается двух окружностей с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами 4 и 10 соответственно, $A_1$, $A_2$ — точки касания, $AA_1 = 12$. Найдите $AA_2$.

Рис. 19.10

По условию задачи, у нас есть две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $r_1 = 4$ и $r_2 = 10$ соответственно. Прямая $AA_2$ является общей внешней касательной к этим окружностям, где $A_1$ и $A_2$ — точки касания. Точка $A$ лежит на прямой, соединяющей центры окружностей $O_1$ и $O_2$. Длина отрезка касательной от точки $A$ до точки $A_1$ равна $AA_1 = 12$. Нам нужно найти длину отрезка $AA_2$.

Проведем радиусы $O_1A_1$ и $O_2A_2$ к точкам касания. Согласно свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $\angle O_1A_1A = 90^\circ$ и $\angle O_2A_2A = 90^\circ$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle AO_1A_1$ и $\triangle AO_2A_2$. Оба этих треугольника являются прямоугольными. У них есть общий острый угол $\angle A$. Следовательно, треугольники $\triangle AO_1A_1$ и $\triangle AO_2A_2$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Запишем отношение катетов: $$ \frac{AA_2}{AA_1} = \frac{O_2A_2}{O_1A_1} $$

Подставим в это соотношение известные значения:

$AA_1 = 12$

$O_1A_1 = r_1 = 4$

$O_2A_2 = r_2 = 10$

Получим уравнение: $$ \frac{AA_2}{12} = \frac{10}{4} $$

Теперь найдем $AA_2$: $$ AA_2 = 12 \cdot \frac{10}{4} = 3 \cdot 10 = 30 $$

Таким образом, длина отрезка $AA_2$ равна 30.

Ответ: 30.