Номер 17, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Используя рисунок 19.13, выразите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, через стороны и площадь этого треугольника.

Рис. 19.13

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Обозначим его площадь как $S$. В этот треугольник вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$.

Как показано на рисунке, мы можем соединить центр вписанной окружности $O$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Это действие разбивает исходный треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $AOB$, $BOC$ и $COA$. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих трех треугольников:

$S = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA}$

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (в данном случае — стороне треугольника). Это означает, что радиус $r$ является высотой для каждого из трех малых треугольников ($AOB$, $BOC$ и $COA$), проведенной из общей вершины $O$ к основаниям $c$, $a$ и $b$ соответственно.

Площадь каждого из этих треугольников вычисляется по формуле: $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота$.

$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r$
$S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$
$S_{COA} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$

Теперь подставим выражения для площадей малых треугольников в формулу для площади большого треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$

Чтобы выразить радиус $r$, умножим обе части уравнения на 2 и разделим на сумму сторон $(a+b+c)$, которая является периметром треугольника:

$2S = r(a+b+c)$

$r = \frac{2S}{a+b+c}$

Таким образом, мы выразили радиус вписанной окружности через площадь треугольника и его стороны.

Ответ: $r = \frac{2S}{a+b+c}$