Номер 1, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Изобразите треугольник, вписанную в него и описанную около него окружности.

1. Чтобы изобразить треугольник с вписанной в него и описанной около него окружностями, необходимо понимать определения и методы построения этих двух типов окружностей.

Вписанная окружность

Это окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех трёх его сторон.
- Её центр, называемый инцентром, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
- Её радиус ($r$) — это длина перпендикуляра, опущенного из инцентра на любую из сторон. Радиус можно вычислить по формуле: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр ($p = \frac{a+b+c}{2}$).

Описанная окружность

Это окружность, которая проходит через все три вершины треугольника.
- Её центр, называемый циркумцентром, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
- Её радиус ($R$) — это расстояние от циркумцентра до любой из вершин. Радиус можно вычислить по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — длины сторон, а $S$ — площадь треугольника.

Порядок построения:

1. Изобразить произвольный треугольник $\triangle ABC$.

2. Для построения вписанной окружности: найти её центр, проведя биссектрисы двух любых углов. Точка их пересечения $O_1$ и будет центром. Радиусом $r$ будет перпендикуляр, опущенный из $O_1$ на любую сторону. Построить окружность с центром $O_1$ и радиусом $r$.

3. Для построения описанной окружности: найти её центр, проведя серединные перпендикуляры к двум любым сторонам. Точка их пересечения $O_2$ и будет центром. Радиусом $R$ будет расстояние от $O_2$ до любой вершины (например, $O_2A$). Построить окружность с центром $O_2$ и радиусом $R$.

Ответ:

На рисунке представлен треугольник $ABC$. Красная окружность с центром в точке $O_1$ является вписанной — она касается каждой из трёх сторон треугольника. Синяя окружность с центром в точке $O_2$ является описанной — она проходит через все три вершины $A, B, C$.