Номер 7, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Для данных треугольников (рис. 20.6) постройте центры описанных окружностей.

а)

б)

в)

Рис. 20.6

Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Чтобы найти эту точку, достаточно построить два серединных перпендикуляра и найти их точку пересечения. Примем сторону одной клетки сетки за единицу длины и для удобства расчетов поместим вершину A каждого треугольника в начало координат.

а) Поместим вершины треугольника в точки с координатами $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ и $C(2, 2)$. Найдем угловые коэффициенты сторон $AC$ и $BC$.

Угловой коэффициент прямой $AC$: $k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{2-0}{2-0} = 1$.

Угловой коэффициент прямой $BC$: $k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{2-0}{2-4} = \frac{2}{-2} = -1$.

Поскольку произведение угловых коэффициентов $k_{AC} \cdot k_{BC} = 1 \cdot (-1) = -1$, стороны $AC$ и $BC$ перпендикулярны, то есть $\angle C = 90^\circ$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине его гипотенузы. Гипотенузой является сторона $AB$.

Найдем координаты середины $O$ отрезка $AB$:

$O = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right) = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (2, 0)$.

Ответ: Центр описанной окружности находится в точке $(2, 0)$, которая является серединой стороны $AB$.

б) Поместим вершины треугольника в точки с координатами $A(0, 0)$, $B(5, 0)$ и $C(2, 3)$. Найдем точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $AC$.

Сторона $AB$ лежит на оси $x$. Ее середина имеет координаты $M_{AB} = (\frac{0+5}{2}, \frac{0+0}{2}) = (2.5, 0)$. Серединный перпендикуляр к горизонтальному отрезку является вертикальной прямой, проходящей через его середину. Уравнение этого перпендикуляра: $x = 2.5$.

Середина стороны $AC$ имеет координаты $M_{AC} = (\frac{0+2}{2}, \frac{0+3}{2}) = (1, 1.5)$. Угловой коэффициент прямой $AC$ равен $k_{AC} = \frac{3-0}{2-0} = \frac{3}{2}$. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра к $AC$ является величиной, обратной по знаку и значению: $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AC}} = -\frac{2}{3}$. Уравнение перпендикуляра, проходящего через точку $(1, 1.5)$ с угловым коэффициентом $-\frac{2}{3}$: $y - 1.5 = -\frac{2}{3}(x - 1)$.

Для нахождения центра описанной окружности решим систему уравнений, подставив $x = 2.5$ во второе уравнение:

$y - 1.5 = -\frac{2}{3}(2.5 - 1)$

$y - 1.5 = -\frac{2}{3}(1.5)$

$y - 1.5 = -1$

$y = 0.5$

Ответ: Центр описанной окружности находится в точке с координатами $(2.5, 0.5)$.

в) Поместим вершины треугольника в точки с координатами $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ и $C(3, 2)$. Этот треугольник является тупоугольным, поэтому центр описанной окружности будет лежать вне его. Найдем точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $BC$.

Серединный перпендикуляр к горизонтальной стороне $AB$ — это вертикальная прямая, проходящая через ее середину $M_{AB} = (\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3, 0)$. Уравнение перпендикуляра: $x = 3$.

Середина стороны $BC$ имеет координаты $M_{BC} = (\frac{6+3}{2}, \frac{0+2}{2}) = (4.5, 1)$. Угловой коэффициент прямой $BC$ равен $k_{BC} = \frac{2-0}{3-6} = -\frac{2}{3}$. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра к $BC$ равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{BC}} = \frac{3}{2}$. Уравнение перпендикуляра, проходящего через точку $(4.5, 1)$ с угловым коэффициентом $\frac{3}{2}$: $y - 1 = \frac{3}{2}(x - 4.5)$.

Решим систему, подставив $x=3$ во второе уравнение:

$y - 1 = \frac{3}{2}(3 - 4.5)$

$y - 1 = \frac{3}{2}(-1.5)$

$y - 1 = -2.25$

$y = -1.25$

Ответ: Центр описанной окружности находится в точке с координатами $(3, -1.25)$.