Номер 8, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Точки $A$, $B$, $C$, расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как $2 : 3 : 7$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Пусть точки A, B, C делят окружность на три дуги, которые мы обозначим как ◡AB, ◡BC и ◡AC. По условию, градусные меры этих дуг относятся как $2:3:7$.

Сумма градусных мер всех дуг, составляющих окружность, равна $360°$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры дуг будут равны $2x$, $3x$ и $7x$.

Составим и решим уравнение, чтобы найти $x$:

$2x + 3x + 7x = 360°$

$12x = 360°$

$x = \frac{360°}{12}$

$x = 30°$

Теперь найдем градусные меры каждой из трех дуг:

Градусная мера меньшей дуги (пусть это будет ◡AB) = $2x = 2 \cdot 30° = 60°$.

Градусная мера средней дуги (пусть это будет ◡BC) = $3x = 3 \cdot 30° = 90°$.

Градусная мера большей дуги (соответственно, ◡AC) = $7x = 7 \cdot 30° = 210°$.

Углы треугольника ABC являются вписанными в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Найдем каждый угол треугольника ABC:

Угол A ($\angle BAC$) опирается на дугу ◡BC. Его величина равна:

$\angle A = \frac{1}{2} \cdot \text{◡BC} = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°$

Угол B ($\angle ABC$) опирается на дугу ◡AC. Его величина равна:

$\angle B = \frac{1}{2} \cdot \text{◡AC} = \frac{1}{2} \cdot 210° = 105°$

Угол C ($\angle BCA$) опирается на дугу ◡AB. Его величина равна:

$\angle C = \frac{1}{2} \cdot \text{◡AB} = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°$

Проверим, что сумма углов треугольника равна $180°$:

$45° + 105° + 30° = 180°$

Ответ: углы треугольника ABC равны $45°$, $105°$ и $30°$.