Номер 8, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Радиус окружности равен 1 см. На продолжении радиуса взята точка E, отстоящая от центра O окружности на расстояние 2 см. Через точку E проведен луч, пересекающий окружность в точках B и C (рис. 19.6). Найдите произведение отрезков BE и CE.

Рис. 19.6

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о степени точки относительно окружности, а именно следствием для двух секущих. Согласно теореме, если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение отрезков одной секущей от данной точки до точек пересечения с окружностью равно соответствующему произведению для второй секущей.

В нашем случае из точки E проведены две секущие:

1. Первая секущая пересекает окружность в точках C и B. Для нее произведение отрезков равно $BE \cdot CE$. Это значение нам и нужно найти.
2. Вторая секущая проходит через центр окружности O. Она пересекает окружность в точке A (ближайшая к E) и в точке D (наиболее удаленная от E), лежащей на той же прямой.

Согласно теореме о двух секущих, мы можем записать равенство:

$BE \cdot CE = DE \cdot AE$

Теперь найдем длины отрезков $AE$ и $DE$.

Из условия задачи нам известно:

• Радиус окружности $R = 1$ см. Так как A и D лежат на окружности, то $OA = OD = 1$ см.
• Расстояние от центра O до точки E равно $OE = 2$ см.

Точка A лежит на отрезке OE. Длина внешней части второй секущей, отрезка $AE$, равна разности $OE$ и радиуса $OA$:

$AE = OE - OA = 2 - 1 = 1$ см.

Длина всей второй секущей, отрезка $DE$, равна сумме расстояния $OE$ и радиуса $OD$:

$DE = OE + OD = 2 + 1 = 3$ см.

Теперь подставим найденные значения в нашу формулу:

$BE \cdot CE = 3 \cdot 1 = 3$

Таким образом, произведение отрезков BE и CE равно 3 см².

Ответ: 3.