Страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E (рис. 19.1), $AE = 6$, $DE = 4$, $CE = 8$. Найдите BE.

Рис. 19.1

1. Для решения данной задачи используется теорема о пересекающихся хордах. Эта теорема утверждает, что если две хорды окружности пересекаются в одной точке, то произведение длин отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению длин отрезков, на которые она делит другую хорду.

Для хорд AB и CD, пересекающихся в точке E, это свойство можно записать в виде формулы:

$AE \cdot BE = CE \cdot DE$

В условии задачи даны следующие длины отрезков:

$AE = 6$

$DE = 4$

$CE = 8$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти неизвестную длину отрезка BE:

$6 \cdot BE = 8 \cdot 4$

Вычислим произведение в правой части равенства:

$6 \cdot BE = 32$

Теперь выразим BE, разделив обе части уравнения на 6:

$BE = \frac{32}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$BE = \frac{16}{3}$

Ответ: $\frac{16}{3}$

2. Через точку $E$, лежащую вне окружности, проведены два луча, пересекающие эту окружность соответственно в точках $A$, $C$ и $B$, $D$ (рис. 19.3). $AE = 18$, $CE = 7$, $DE = 6$. Найдите $BE$.

Для решения этой задачи используется теорема о двух секущих, проведенных из одной точки к окружности. Теорема о степени точки относительно окружности гласит, что для любой секущей, проведенной из точки вне окружности, произведение длины всей секущей на длину ее внешней части есть величина постоянная.

В данном случае из точки E, лежащей вне окружности, проведены две секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках C и A. Вторая секущая пересекает окружность в точках D и B.

Для первой секущей ECA:

• Внешняя часть секущей — это отрезок CE.
• Вся секущая — это отрезок AE.

Для второй секущей EDB:

• Внешняя часть секущей — это отрезок DE.
• Вся секущая — это отрезок BE.

Согласно теореме о секущих, мы можем записать равенство:

$CE \cdot AE = DE \cdot BE$

В условии задачи даны следующие длины отрезков:

$AE = 18$

$CE = 7$

$DE = 6$

Подставим эти значения в нашу формулу, чтобы найти неизвестную длину BE:

$7 \cdot 18 = 6 \cdot BE$

Вычислим произведение в левой части уравнения:

$126 = 6 \cdot BE$

Теперь выразим BE, разделив обе части уравнения на 6:

$BE = \frac{126}{6}$

$BE = 21$

Ответ: 21.

3. Через точку E, лежащую вне окружности, проведены два луча, пересекающие эту окружность соответственно в точках A, C и B, D (рис. 19.3). $AE = 12$, $CE = 5$, $BE = 15$. Найдите $DE$.

Рис. 19.3

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о степени точки относительно окружности, а именно её следствием для двух секущих. Теорема гласит, что если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение длины внешней части секущей на длину всей секущей постоянно для обеих секущих.

В нашем случае из точки E, лежащей вне окружности, проведены две секущие, которые пересекают окружность в точках A, C и B, D. Для этих секущих справедливо следующее равенство:

$CE \cdot AE = DE \cdot BE$

Здесь $CE$ и $DE$ — это длины внешних частей секущих (отрезки от точки E до ближайшей точки пересечения с окружностью), а $AE$ и $BE$ — это длины полных секущих (отрезки от точки E до дальней точки пересечения с окружностью).

По условию задачи нам даны следующие значения:

$AE = 12$

$CE = 5$

$BE = 15$

Необходимо найти длину отрезка $DE$. Подставим известные значения в нашу формулу:

$5 \cdot 12 = DE \cdot 15$

Вычислим произведение в левой части уравнения:

$60 = DE \cdot 15$

Теперь выразим $DE$, разделив обе части равенства на 15:

$DE = \frac{60}{15}$

$DE = 4$

Ответ: 4.

4. Через точку E, лежащую вне окружности, проведены два луча, один из которых касается окружности в точке A, а другой пересекает окружность в точках B и C (рис. 19.4). $BE = 9$, $CE = 4$. Найдите $AE$.

Рис. 19.4

Для решения данной задачи используется теорема о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от внешней точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от той же внешней точки до точек ее пересечения с окружностью.

В нашем случае, $AE$ — это отрезок касательной, а луч, проходящий через точки $B$ и $C$, является секущей. Точка $E$ — это точка, из которой проведены касательная и секущая.

Согласно теореме о касательной и секущей, можно записать следующее равенство:
$AE^2 = BE \times CE$

Из условия задачи нам известны длины отрезков:
$BE = 9$ (длина всей секущей от точки $E$ до дальней точки пересечения $B$)
$CE = 4$ (длина внешней части секущей от точки $E$ до ближней точки пересечения $C$)

Подставим известные значения в формулу:
$AE^2 = 9 \times 4$
$AE^2 = 36$

Чтобы найти длину $AE$, необходимо извлечь квадратный корень из 36:
$AE = \sqrt{36}$
$AE = 6$

Ответ: 6.

5. Через точку E, лежащую вне окружности, проведены два луча, один из которых касается окружности в точке A, а другой пересекает окружность в точках B и C (рис. 19.4). $AE = 12$, $BE = 18$. Найдите $CE$.

Рис. 19.4

Для решения этой задачи используется теорема о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Эта теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от внешней точки до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть. В соответствии с обозначениями на рисунке, можно составить следующее уравнение:

$AE^2 = CE \cdot BE$

Здесь AE — это касательная, BE — это вся секущая (отрезок от точки E до дальней точки пересечения B), а CE — ее внешняя часть (отрезок от точки E до ближней точки пересечения C).

По условию задачи дано: $AE = 12$ и $BE = 18$.

Подставим эти значения в уравнение:

$12^2 = CE \cdot 18$

Выполним вычисление:

$144 = CE \cdot 18$

Теперь найдем неизвестную длину CE, разделив обе части уравнения на 18:

$CE = \frac{144}{18}$

$CE = 8$

Ответ: 8

6. Радиус $OA$ окружности равен 2. Через его середину $E$ проведена хорда $CD$ (рис. 19.5). Найдите произведение отрезков $CE$ и $DE$.

Рис. 19.5

По условию задачи, радиус окружности $OA$ равен 2, а точка $E$ является его серединой. Следовательно, мы можем найти длины отрезков $AE$ и $OE$:

$AE = OE = \frac{OA}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Для нахождения произведения отрезков $CE$ и $DE$ воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах. Продлим радиус $OA$ до диаметра, обозначив его другой конец буквой $F$. Таким образом, мы получаем две хорды, $CD$ и $AF$, которые пересекаются в точке $E$.

Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит другую хорду. Для нашего случая это можно записать в виде формулы:

$CE \cdot DE = AE \cdot EF$

Мы уже знаем, что $AE = 1$. Длину отрезка $EF$ можно найти как сумму длин отрезков $OE$ и $OF$. Отрезок $OF$ является радиусом окружности, поэтому $OF = 2$. Тогда:

$EF = OE + OF = 1 + 2 = 3$

Теперь подставим найденные значения $AE$ и $EF$ в формулу теоремы:

$CE \cdot DE = 1 \cdot 3 = 3$

Таким образом, произведение отрезков $CE$ и $DE$ равно 3.

Ответ: 3

7. Радиус $OA$ окружности равен 8. Через его середину $E$ проведена хорда $CD$ (рис. 19.5), $CE = 4,8$. Найдите $DE$.

Рис. 19.5

Для решения задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности. Теорема о пересекающихся хордах гласит, что если две хорды окружности пересекаются в одной точке, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

В данном случае у нас есть хорда CD. Радиус OA не является хордой, но он лежит на диаметре. Проведем диаметр через точки O и A, пусть его концы на окружности будут точки A и B (где B находится на окружности с противоположной стороны от A). Таким образом, у нас есть две пересекающиеся в точке E хорды: CD и AB.

Согласно теореме, мы можем записать равенство:

$AE \cdot EB = CE \cdot DE$

Найдем длины отрезков AE и EB.

По условию задачи, радиус $OA = 8$. Точка E является серединой радиуса OA, следовательно:

$AE = \frac{OA}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Теперь найдем длину отрезка EB. Отрезок EB состоит из отрезка OE и радиуса OB. Так как E — середина OA, то $OE = AE = 4$. Радиус $OB$ равен радиусу $OA$, то есть $OB = 8$.

Таким образом, длина отрезка EB равна:

$EB = OE + OB = 4 + 8 = 12$

Теперь у нас есть все данные для использования формулы. Длина отрезка CE дана в условии: $CE = 4,8$. Подставим известные значения в равенство:

$4 \cdot 12 = 4,8 \cdot DE$

$48 = 4,8 \cdot DE$

Выразим DE из этого уравнения:

$DE = \frac{48}{4,8}$

$DE = \frac{480}{48}$

$DE = 10$

Ответ: 10.

8. Радиус окружности равен 1 см. На продолжении радиуса взята точка E, отстоящая от центра O окружности на расстояние 2 см. Через точку E проведен луч, пересекающий окружность в точках B и C (рис. 19.6). Найдите произведение отрезков BE и CE.

Рис. 19.6

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о степени точки относительно окружности, а именно следствием для двух секущих. Согласно теореме, если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение отрезков одной секущей от данной точки до точек пересечения с окружностью равно соответствующему произведению для второй секущей.

В нашем случае из точки E проведены две секущие:

1. Первая секущая пересекает окружность в точках C и B. Для нее произведение отрезков равно $BE \cdot CE$. Это значение нам и нужно найти.
2. Вторая секущая проходит через центр окружности O. Она пересекает окружность в точке A (ближайшая к E) и в точке D (наиболее удаленная от E), лежащей на той же прямой.

Согласно теореме о двух секущих, мы можем записать равенство:

$BE \cdot CE = DE \cdot AE$

Теперь найдем длины отрезков $AE$ и $DE$.

Из условия задачи нам известно:

• Радиус окружности $R = 1$ см. Так как A и D лежат на окружности, то $OA = OD = 1$ см.
• Расстояние от центра O до точки E равно $OE = 2$ см.

Точка A лежит на отрезке OE. Длина внешней части второй секущей, отрезка $AE$, равна разности $OE$ и радиуса $OA$:

$AE = OE - OA = 2 - 1 = 1$ см.

Длина всей второй секущей, отрезка $DE$, равна сумме расстояния $OE$ и радиуса $OD$:

$DE = OE + OD = 2 + 1 = 3$ см.

Теперь подставим найденные значения в нашу формулу:

$BE \cdot CE = 3 \cdot 1 = 3$

Таким образом, произведение отрезков BE и CE равно 3 см².

Ответ: 3.