Страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В угол $ACB$ вписана окружность. Точки касания делят окружность на дуги, градусные величины которых относятся как 2 : 1. Найдите величину угла $ACB$ (рис. 18.8).

O

Рис. 18.8

Пусть окружность с центром в точке $O$ вписана в угол $ACB$ и касается его сторон в точках $A$ и $B$. Точки касания $A$ и $B$ делят окружность на две дуги.

Согласно условию, градусные величины этих дуг относятся как $2:1$. Обозначим градусную меру меньшей дуги $AB$ как $x$. Тогда градусная мера большей дуги $AB$ будет равна $2x$.

Сумма градусных мер двух дуг, которые вместе составляют полную окружность, равна $360°$. Мы можем составить и решить уравнение:
$x + 2x = 360°$
$3x = 360°$
$x = \frac{360°}{3}$
$x = 120°$

Таким образом, градусная мера меньшей дуги $AB$ равна $120°$.

Для нахождения угла $ACB$ можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1. Через свойства четырехугольника
Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным: $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$. Следовательно, $∠OAC = 90°$ и $∠OBC = 90°$.
Центральный угол $AOB$ опирается на меньшую дугу $AB$, и его величина равна градусной мере этой дуги: $∠AOB = 120°$.
Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360°$. Для четырехугольника $OACB$ имеем:
$∠ACB + ∠OAC + ∠AOB + ∠OBC = 360°$
$∠ACB + 90° + 120° + 90° = 360°$
$∠ACB + 300° = 360°$
$∠ACB = 360° - 300° = 60°$

Способ 2. Через теорему об угле между касательными
Градусная мера большей дуги равна $2x = 2 \cdot 120° = 240°$.
Угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине разности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
$∠ACB = \frac{1}{2} (\text{большая дуга } AB - \text{меньшая дуга } AB)$
$∠ACB = \frac{1}{2} (240° - 120°) = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°$

Оба способа приводят к одинаковому результату.
Ответ: $60°$.

12. Для данных точек $A$ и $B$ найдите геометрическое место точек $C$, для которых $\angle ACB$ прямой.

Пусть даны две различные точки A и B. Требуется найти геометрическое место точек C (ГМТ), для которых треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C.

Вспомним свойство углов, вписанных в окружность. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, всегда является прямым ($90^\circ$).

Справедливо и обратное утверждение (которое является свойством прямоугольного треугольника): если угол $\angle ACB$ прямой, то вершина C этого угла лежит на окружности, для которой отрезок AB является диаметром.

Таким образом, все точки C, удовлетворяющие условию $\angle ACB = 90^\circ$, принадлежат окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре.

Центр этой окружности находится в середине отрезка AB. Радиус этой окружности равен половине длины отрезка AB, то есть $R = \frac{AB}{2}$.

Важно отметить, что точка C не может совпадать с точками A или B. Если C совпадает с A или B, то три точки лежат на одной прямой и не образуют треугольник, а значит, понятие угла ACB теряет смысл. Следовательно, точки A и B необходимо исключить из искомого множества.

Ответ: Искомым геометрическим местом точек является окружность, диаметром которой служит отрезок AB, за исключением самих точек A и B.

13. Для данных точек A и B найдите геометрическое место точек C, для которых угол $ACB$:

а) острый;

б) тупой.

Для решения этой задачи воспользуемся известным свойством: геометрическое место точек C, из которых данный отрезок AB виден под прямым углом ($\angle ACB = 90^\circ$), есть окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре (за исключением самих точек A и B). Обозначим эту окружность как $\Omega$. Центром этой окружности будет середина отрезка AB, а ее радиус будет равен половине длины AB. Положение точки C относительно этой окружности определяет тип угла $\angle ACB$.

а) острый

Угол $\angle ACB$ является острым, когда его мера меньше $90^\circ$. В треугольнике ABC, по обобщенной теореме Пифагора (следствие из теоремы косинусов), угол $\angle C$ острый тогда и только тогда, когда $|AB|^2 < |AC|^2 + |BC|^2$. Это неравенство выполняется для всех точек C, которые лежат вне круга с диаметром AB.

Таким образом, чтобы угол $\angle ACB$ был острым, точка C должна находиться вне окружности $\Omega$. Кроме того, точка C не может лежать на прямой, проходящей через точки A и B, поскольку в этом случае точки A, B и C были бы коллинеарны, и угол $\angle ACB$ был бы равен $0^\circ$ или $180^\circ$, что не является острым углом в треугольнике. Следовательно, из множества точек, лежащих вне окружности $\Omega$, необходимо исключить точки, принадлежащие прямой AB.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это множество всех точек плоскости, лежащих вне окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре, за исключением точек, принадлежащих прямой AB.

б) тупой

Угол $\angle ACB$ является тупым, когда его мера больше $90^\circ$. В треугольнике ABC, по тому же следствию из теоремы косинусов, угол $\angle C$ тупой тогда и только тогда, когда $|AB|^2 > |AC|^2 + |BC|^2$. Это неравенство выполняется для всех точек C, которые лежат внутри круга с диаметром AB.

Таким образом, чтобы угол $\angle ACB$ был тупым, точка C должна находиться внутри окружности $\Omega$. Однако, если точка C лежит на самом отрезке AB, то она не образует с точками A и B треугольник (угол $\angle ACB$ был бы развернутым, $180^\circ$). Поэтому точки отрезка AB необходимо исключить из искомого множества.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это множество всех точек, лежащих внутри окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре, за исключением точек самого отрезка AB.

14. На прямой $c$ укажите точку $C$, из которой отрезок $AB$ виден под наибольшим углом (рис. 18.9).

a)

б)

Рис. 18.9

Для решения задачи воспользуемся следующим геометрическим фактом: угол, под которым отрезок $AB$ виден из точки $C$, лежащей на прямой $c$, достигает своего максимального значения, когда окружность, проходящая через точки $A$ и $B$, касается прямой $c$ в точке $C$. Таким образом, задача сводится к нахождению точки касания.

а)

В данном случае прямая $c$ параллельна отрезку $AB$. Из соображений симметрии точка $C$, из которой отрезок $AB$ виден под наибольшим углом, должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Введем систему координат, приняв за единицу длину стороны клетки. Пусть точка $A$ имеет координаты $(1, 1)$, а точка $B$ — $(4, 1)$. Прямая $c$ задается уравнением $y=3$.

Середина отрезка $AB$ находится в точке с координатой $x_M = (1+4)/2 = 2.5$. Серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ — это вертикальная прямая, заданная уравнением $x=2.5$.

Искомая точка $C$ является точкой пересечения серединного перпендикуляра ($x=2.5$) и прямой $c$ ($y=3$). Следовательно, координаты точки $C$ равны $(2.5, 3)$. Эта точка находится на прямой $c$ ровно посередине между вертикальными линиями сетки, проходящими через $x=2$ и $x=3$.

Ответ: Точка $C$ — это основание перпендикуляра, опущенного из середины отрезка $AB$ на прямую $c$.

б)

Здесь прямая $c$ не параллельна отрезку $AB$. Мы по-прежнему ищем точку $C$ на прямой $c$ такую, что окружность, проходящая через $A$ и $B$, касается прямой $c$ в этой точке.

Введем систему координат. Пусть $A=(1, 1)$ и $B=(4, 2)$. Прямая $c$ проходит через точки $(0, 3)$ и $(4, 4)$, ее уравнение $y = \frac{1}{4}x + 3$.

Точный расчет координат точки $C$ приводит к громоздким вычислениям. Однако, поскольку в задаче просят «указать» точку, можно предположить, что она имеет простые координаты. Проверим несколько точек на прямой $c$, лежащих на узлах или серединах клеток сетки, и сравним углы $\angle ACB$. Угол будет наибольшим, когда его косинус будет наименьшим (так как угол острый).

Косинус угла между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ вычисляется по формуле:$ \cos(\angle ACB) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} $

Проверим три точки:

1. Пусть $C_1 = (0, 3)$.
   $\vec{C_1A} = (1-0, 1-3) = (1, -2)$
   $\vec{C_1B} = (4-0, 2-3) = (4, -1)$
   $\cos(\angle AC_1B) = \frac{1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1)}{\sqrt{1^2+(-2)^2} \cdot \sqrt{4^2+(-1)^2}} = \frac{4+2}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{17}} = \frac{6}{\sqrt{85}} \approx 0.651$
2. Пусть $C_2 = (2, 3.5)$. Эта точка лежит на прямой $c$, так как $3.5 = \frac{1}{4}(2) + 3$.
   $\vec{C_2A} = (1-2, 1-3.5) = (-1, -2.5)$
   $\vec{C_2B} = (4-2, 2-3.5) = (2, -1.5)$
   $\cos(\angle AC_2B) = \frac{(-1) \cdot 2 + (-2.5) \cdot (-1.5)}{\sqrt{(-1)^2+(-2.5)^2} \cdot \sqrt{2^2+(-1.5)^2}} = \frac{-2+3.75}{\sqrt{1+6.25} \cdot \sqrt{4+2.25}} = \frac{1.75}{\sqrt{7.25} \cdot \sqrt{6.25}} \approx \frac{1.75}{2.69 \cdot 2.5} \approx 0.260$
3. Пусть $C_3 = (4, 4)$.
   $\vec{C_3A} = (1-4, 1-4) = (-3, -3)$
   $\vec{C_3B} = (4-4, 2-4) = (0, -2)$
   $\cos(\angle AC_3B) = \frac{(-3) \cdot 0 + (-3) \cdot (-2)}{\sqrt{(-3)^2+(-3)^2} \cdot \sqrt{0^2+(-2)^2}} = \frac{6}{\sqrt{18} \cdot 2} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$

Сравнивая значения косинусов, видим, что наименьшее значение достигается в точке $C_2=(2, 3.5)$. Следовательно, в этой точке угол $\angle ACB$ будет наибольшим среди проверенных точек. Это позволяет с высокой уверенностью утверждать, что искомая точка $C$ имеет координаты $(2, 3.5)$.

Ответ: Точка $C$ имеет координаты $(2, 3.5)$. Она находится на пересечении прямой $c$ и вертикальной линии сетки, проходящей через $x=2$.

15. На прямой $c$ укажите точку $C$, из которой отрезок $AB$ виден под наибольшим углом (рис. 18.10).

а)

б)

Рис. 18.10

Для решения данной задачи воспользуемся следующим геометрическим свойством: множество всех точек, из которых данный отрезок виден под одним и тем же углом, представляет собой дугу окружности, проходящую через концы этого отрезка. Угол, под которым виден отрезок, является вписанным углом в эту окружность. Для фиксированной хорды (в нашем случае, отрезка $AB$) величина вписанного угла тем больше, чем меньше радиус окружности.

Таким образом, задача сводится к нахождению на прямой $c$ такой точки $C$, которая принадлежит окружности наименьшего возможного радиуса, проходящей через точки $A$ и $B$. Такая окружность будет касаться прямой $c$ в искомой точке $C$. Если бы окружность пересекала прямую $c$ в двух точках, то между ними на прямой $c$ нашлись бы точки, лежащие внутри окружности, через которые можно было бы провести окружность еще меньшего радиуса (проходящую через $A$ и $B$), что означало бы наличие большего угла. Следовательно, искомая точка $C$ — это точка касания прямой $c$ и окружности, проходящей через точки $A$ и $B$.

Для построения такой точки $C$ можно использовать следующий алгоритм, основанный на теореме о степени точки относительно окружности (или, как ее частный случай, теореме о касательной и секущей):

1. Продлить отрезок $AB$ до прямой и найти точку $P$ ее пересечения с прямой $c$. Если прямые $AB$ и $c$ параллельны, то точка $C$ будет являться точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $AB$ с прямой $c$. В данной задаче прямые не параллельны.
2. Согласно теореме о касательной и секущей, для точки $P$ и любой окружности, проходящей через $A$ и $B$ и касающейся прямой $c$ в точке $C$, выполняется равенство: $PC^2 = PA \cdot PB$.
3. Из этого равенства можно найти длину отрезка $PC$. Для этого нужно измерить или вычислить длины отрезков $PA$ и $PB$.
4. Искомая точка $C$ находится на пересечении прямой $c$ и окружности с центром в точке $P$ и радиусом, равным найденной длине $PC$. Как правило, таких точек будет две, но из контекста рисунка мы выбираем одну.

Применим этот метод к каждому из случаев.

а) Введем систему координат, приняв за единицу измерения сторону клетки сетки. Пусть левый нижний узел видимой сетки имеет координаты $(0, 0)$. Тогда точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(1, 1)$ и $B(3, 1)$. Прямая $c$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(2, 3)$, ее уравнение $y = \frac{1}{2}x + 2$.

1. Прямая, содержащая отрезок $AB$, задается уравнением $y=1$. Найдем точку пересечения $P$ прямых $y=1$ и $y = \frac{1}{2}x + 2$:
$1 = \frac{1}{2}x + 2 \implies \frac{1}{2}x = -1 \implies x = -2$.
Таким образом, точка пересечения $P$ имеет координаты $(-2, 1)$.

2. Найдем длины отрезков $PA$ и $PB$:
$PA = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{3^2} = 3$.
$PB = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{5^2} = 5$.

3. Вычислим квадрат расстояния $PC$:
$PC^2 = PA \cdot PB = 3 \cdot 5 = 15$.

4. Точка $C(x_C, y_C)$ лежит на прямой $c$, так что $y_C = \frac{1}{2}x_C + 2$. Также ее расстояние до точки $P(-2, 1)$ должно удовлетворять найденному условию: $(x_C - (-2))^2 + (y_C - 1)^2 = 15$
$(x_C + 2)^2 + (\frac{1}{2}x_C + 2 - 1)^2 = 15$
$(x_C + 2)^2 + (\frac{1}{2}x_C + 1)^2 = 15$
$x_C^2 + 4x_C + 4 + \frac{1}{4}x_C^2 + x_C + 1 = 15$
$\frac{5}{4}x_C^2 + 5x_C - 10 = 0$
$x_C^2 + 4x_C - 8 = 0$
Решая квадратное уравнение, получаем $x_C = -2 \pm 2\sqrt{3}$. Судя по рисунку, абсцисса точки $C$ положительна, поэтому выбираем корень $x_C = -2 + 2\sqrt{3} \approx 1.46$.

Ответ: Искомая точка $C$ — это точка касания прямой $c$ с окружностью, проходящей через точки $A$ и $B$. Ее можно построить, найдя точку $P$ пересечения прямых $AB$ и $c$, и отложив от нее по прямой $c$ отрезок $PC$ длиной $\sqrt{PA \cdot PB}$.

б) Аналогично введем систему координат. Пусть $A(1, 1)$ и $B(4, 1)$. Прямая $c$ проходит через точки $(0, 3)$ и $(2, 4)$, ее уравнение $y = \frac{1}{2}x + 3$.

1. Прямая $AB$ — это $y=1$. Найдем точку пересечения $P$ с прямой $c$ ($y = \frac{1}{2}x + 3$):
$1 = \frac{1}{2}x + 3 \implies \frac{1}{2}x = -2 \implies x = -4$.
Точка $P$ имеет координаты $(-4, 1)$.

2. Найдем длины отрезков $PA$ и $PB$:
$PA = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{5^2} = 5$.
$PB = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{8^2} = 8$.

3. Вычислим квадрат расстояния $PC$:
$PC^2 = PA \cdot PB = 5 \cdot 8 = 40$.

4. Найдем координаты точки $C(x_C, y_C)$, лежащей на прямой $c$ ($y_C = \frac{1}{2}x_C + 3$): $(x_C - (-4))^2 + (y_C - 1)^2 = 40$
$(x_C + 4)^2 + (\frac{1}{2}x_C + 3 - 1)^2 = 40$
$(x_C + 4)^2 + (\frac{1}{2}x_C + 2)^2 = 40$
$x_C^2 + 8x_C + 16 + \frac{1}{4}x_C^2 + 2x_C + 4 = 40$
$\frac{5}{4}x_C^2 + 10x_C - 20 = 0$
$x_C^2 + 8x_C - 16 = 0$
Решая уравнение, получаем $x_C = -4 \pm 4\sqrt{2}$. Из рисунка видно, что абсцисса $C$ положительна, значит $x_C = -4 + 4\sqrt{2} \approx 1.66$.

Ответ: Искомая точка $C$ является точкой касания окружности, проходящей через $A$ и $B$, с прямой $c$. Для ее нахождения следует использовать тот же метод, что и в пункте а).