Номер 15, страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. На прямой $c$ укажите точку $C$, из которой отрезок $AB$ виден под наибольшим углом (рис. 18.10).

а)

б)

Рис. 18.10

Для решения данной задачи воспользуемся следующим геометрическим свойством: множество всех точек, из которых данный отрезок виден под одним и тем же углом, представляет собой дугу окружности, проходящую через концы этого отрезка. Угол, под которым виден отрезок, является вписанным углом в эту окружность. Для фиксированной хорды (в нашем случае, отрезка $AB$) величина вписанного угла тем больше, чем меньше радиус окружности.

Таким образом, задача сводится к нахождению на прямой $c$ такой точки $C$, которая принадлежит окружности наименьшего возможного радиуса, проходящей через точки $A$ и $B$. Такая окружность будет касаться прямой $c$ в искомой точке $C$. Если бы окружность пересекала прямую $c$ в двух точках, то между ними на прямой $c$ нашлись бы точки, лежащие внутри окружности, через которые можно было бы провести окружность еще меньшего радиуса (проходящую через $A$ и $B$), что означало бы наличие большего угла. Следовательно, искомая точка $C$ — это точка касания прямой $c$ и окружности, проходящей через точки $A$ и $B$.

Для построения такой точки $C$ можно использовать следующий алгоритм, основанный на теореме о степени точки относительно окружности (или, как ее частный случай, теореме о касательной и секущей):

1. Продлить отрезок $AB$ до прямой и найти точку $P$ ее пересечения с прямой $c$. Если прямые $AB$ и $c$ параллельны, то точка $C$ будет являться точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $AB$ с прямой $c$. В данной задаче прямые не параллельны.
2. Согласно теореме о касательной и секущей, для точки $P$ и любой окружности, проходящей через $A$ и $B$ и касающейся прямой $c$ в точке $C$, выполняется равенство: $PC^2 = PA \cdot PB$.
3. Из этого равенства можно найти длину отрезка $PC$. Для этого нужно измерить или вычислить длины отрезков $PA$ и $PB$.
4. Искомая точка $C$ находится на пересечении прямой $c$ и окружности с центром в точке $P$ и радиусом, равным найденной длине $PC$. Как правило, таких точек будет две, но из контекста рисунка мы выбираем одну.

Применим этот метод к каждому из случаев.

а) Введем систему координат, приняв за единицу измерения сторону клетки сетки. Пусть левый нижний узел видимой сетки имеет координаты $(0, 0)$. Тогда точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(1, 1)$ и $B(3, 1)$. Прямая $c$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(2, 3)$, ее уравнение $y = \frac{1}{2}x + 2$.

1. Прямая, содержащая отрезок $AB$, задается уравнением $y=1$. Найдем точку пересечения $P$ прямых $y=1$ и $y = \frac{1}{2}x + 2$:
$1 = \frac{1}{2}x + 2 \implies \frac{1}{2}x = -1 \implies x = -2$.
Таким образом, точка пересечения $P$ имеет координаты $(-2, 1)$.

2. Найдем длины отрезков $PA$ и $PB$:
$PA = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{3^2} = 3$.
$PB = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{5^2} = 5$.

3. Вычислим квадрат расстояния $PC$:
$PC^2 = PA \cdot PB = 3 \cdot 5 = 15$.

4. Точка $C(x_C, y_C)$ лежит на прямой $c$, так что $y_C = \frac{1}{2}x_C + 2$. Также ее расстояние до точки $P(-2, 1)$ должно удовлетворять найденному условию: $(x_C - (-2))^2 + (y_C - 1)^2 = 15$
$(x_C + 2)^2 + (\frac{1}{2}x_C + 2 - 1)^2 = 15$
$(x_C + 2)^2 + (\frac{1}{2}x_C + 1)^2 = 15$
$x_C^2 + 4x_C + 4 + \frac{1}{4}x_C^2 + x_C + 1 = 15$
$\frac{5}{4}x_C^2 + 5x_C - 10 = 0$
$x_C^2 + 4x_C - 8 = 0$
Решая квадратное уравнение, получаем $x_C = -2 \pm 2\sqrt{3}$. Судя по рисунку, абсцисса точки $C$ положительна, поэтому выбираем корень $x_C = -2 + 2\sqrt{3} \approx 1.46$.

Ответ: Искомая точка $C$ — это точка касания прямой $c$ с окружностью, проходящей через точки $A$ и $B$. Ее можно построить, найдя точку $P$ пересечения прямых $AB$ и $c$, и отложив от нее по прямой $c$ отрезок $PC$ длиной $\sqrt{PA \cdot PB}$.

б) Аналогично введем систему координат. Пусть $A(1, 1)$ и $B(4, 1)$. Прямая $c$ проходит через точки $(0, 3)$ и $(2, 4)$, ее уравнение $y = \frac{1}{2}x + 3$.

1. Прямая $AB$ — это $y=1$. Найдем точку пересечения $P$ с прямой $c$ ($y = \frac{1}{2}x + 3$):
$1 = \frac{1}{2}x + 3 \implies \frac{1}{2}x = -2 \implies x = -4$.
Точка $P$ имеет координаты $(-4, 1)$.

2. Найдем длины отрезков $PA$ и $PB$:
$PA = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{5^2} = 5$.
$PB = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{8^2} = 8$.

3. Вычислим квадрат расстояния $PC$:
$PC^2 = PA \cdot PB = 5 \cdot 8 = 40$.

4. Найдем координаты точки $C(x_C, y_C)$, лежащей на прямой $c$ ($y_C = \frac{1}{2}x_C + 3$): $(x_C - (-4))^2 + (y_C - 1)^2 = 40$
$(x_C + 4)^2 + (\frac{1}{2}x_C + 3 - 1)^2 = 40$
$(x_C + 4)^2 + (\frac{1}{2}x_C + 2)^2 = 40$
$x_C^2 + 8x_C + 16 + \frac{1}{4}x_C^2 + 2x_C + 4 = 40$
$\frac{5}{4}x_C^2 + 10x_C - 20 = 0$
$x_C^2 + 8x_C - 16 = 0$
Решая уравнение, получаем $x_C = -4 \pm 4\sqrt{2}$. Из рисунка видно, что абсцисса $C$ положительна, значит $x_C = -4 + 4\sqrt{2} \approx 1.66$.

Ответ: Искомая точка $C$ является точкой касания окружности, проходящей через $A$ и $B$, с прямой $c$. Для ее нахождения следует использовать тот же метод, что и в пункте а).