Номер 8, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Найдите величину угла $ \angle ACB $ (рис. 18.6).

Рис. 18.6

Для решения задачи введем систему координат, приняв сторону одной клетки за единицу длины. Удобно разместить центр окружности O в начале координат (0, 0).
Из рисунка видно, что радиус окружности равен одной клетке, следовательно, $r=1$.
Точка C находится на 3 клетки правее центра O на той же горизонтальной линии. Таким образом, координаты точки C: $(3, 0)$.
Точка A находится на окружности, на 1 клетку выше центра O. Координаты точки A: $(0, 1)$.
Точка B находится на окружности, на 1 клетку ниже центра O. Координаты точки B: $(0, -1)$.
Теперь найдем длины сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Длина стороны AC: $AC = \sqrt{(3-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.
Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(3-0)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.
Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(0-0)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
Зная длины всех трех сторон треугольника ABC, мы можем найти искомый угол ACB с помощью теоремы косинусов:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$
Подставим найденные значения длин сторон в формулу:
$2^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos(\angle ACB)$
$4 = 10 + 10 - 2 \cdot 10 \cdot \cos(\angle ACB)$
$4 = 20 - 20 \cdot \cos(\angle ACB)$
Перенесем слагаемые, чтобы выразить косинус угла:
$20 \cdot \cos(\angle ACB) = 20 - 4$
$20 \cdot \cos(\angle ACB) = 16$
$\cos(\angle ACB) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.
Следовательно, величина угла ACB - это угол, косинус которого равен 4/5.
Ответ: Величина угла ACB равна $\arccos(\frac{4}{5})$.