Номер 9, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Найдите величину угла $ACB$ (рис. $18.7$).

Рис. $18.7$

Для решения задачи введем систему координат. Пусть одна клетка сетки соответствует единице длины. Разместим начало координат в левом нижнем углу видимой части сетки.

Из рисунка видно, что центр окружности, точка $O$, имеет координаты $(2, 2)$. Радиус окружности $r$ равен одной клетке, то есть $r = 1$.

Вершина угла, точка $C$, находится в узле сетки с координатами $(5, 4)$.

Отрезки $CA$ и $CB$ являются касательными к окружности, проведенными из одной точки $C$. По свойству касательных, радиусы, проведенные в точки касания $A$ и $B$, перпендикулярны касательным. Таким образом, углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAC$.

Длина катета $OA$ равна радиусу окружности: $OA = r = 1$.

Длина гипотенузы $OC$ — это расстояние между точками $O(2, 2)$ и $C(5, 4)$. Вычислим его по формуле расстояния между двумя точками:$OC = \sqrt{(5-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.

Длину второго катета $AC$ найдем по теореме Пифагора: $OC^2 = OA^2 + AC^2$.$AC^2 = OC^2 - OA^2 = (\sqrt{13})^2 - 1^2 = 13 - 1 = 12$.$AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ равны по катету и гипотенузе ($OA = OB = r$, гипотенуза $OC$ — общая). Следовательно, углы $\angle OCA$ и $\angle OCB$ равны, а искомый угол $\angle ACB$ равен удвоенному углу $\angle OCA$.$\angle ACB = 2 \cdot \angle OCA$.

Найдем косинус угла $\angle OCA$ из прямоугольного треугольника $\triangle OAC$:$\cos(\angle OCA) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{OC} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{13}}$.

Теперь найдем косинус угла $\angle ACB$, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$.$\cos(\angle ACB) = \cos(2 \cdot \angle OCA) = 2\cos^2(\angle OCA) - 1$.$\cos(\angle ACB) = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{13}}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{12}{13} - 1 = \frac{24}{13} - \frac{13}{13} = \frac{11}{13}$.

Таким образом, величина угла $\angle ACB$ равна арккосинусу от $\frac{11}{13}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{11}{13}\right)$.